2024　宮崎大学　前期

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{お}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　関数$f(x)=x\sin (1-x)$の導関数は，$f^{\prime }(x)=\text{あ}$である．

《編注》教育(小主免理系,中主免理系)学部は「なお，解答欄には計算過程も記述すること．」とあり．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{お}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　関数$f(x)=e^{\frac{x}{1+x}}$の導関数は，$f^{\prime }(x)=\text{い}$である．

《編注》教育(小主免理系,中主免理系)学部は「なお，解答欄には計算過程も記述すること．」とあり．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{お}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　関数$f(x)=x\sqrt{1+x^2}$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{う}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

《編注》教育(小主免理系,中主免理系)学部は「なお，解答欄には計算過程も記述すること．」とあり．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{お}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(4)　関数$f(x)=x^2\log x$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{え}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

《編注》教育(小主免理系,中主免理系)学部は「なお，解答欄には計算過程も記述すること．」とあり．

【１】　次の空欄$\text{あ}\text{〜}$$\text{お}$を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{4}}\mathit{dx}$の値は，$\text{お}$である．

《編注》教育(小主免理系,中主免理系)学部は「なお，解答欄には計算過程も記述すること．」とあり．

【２】　右図のように，$3$組の向かい合った面がそれぞれ平行である六面体を平行六面体という．

　座標空間の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(4,-2,6)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-6,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(7,-1,-5)$に対して，四角形$\mathrm{OADB}\text{，}$$\mathrm{OAEC}\text{，}$$\mathrm{OBFC}\text{，}$$\mathrm{CEGF}$がすべて平行四辺形となるように，$4$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$をとる．立体$\mathrm{OADB‐CEGF}$は平行六面体となる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$をそれぞれ成分表示せよ．

(3)　平行六面体$\mathrm{OADB‐CEGF}$の体積を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が，赤玉$3$個，白玉$9$個の合計$12$個の玉が入った袋から，次のようにして，最大$6$回玉を取り出すゲームを行う．

・$1$回目は$\mathrm{A}$が$1$個，$2$回目は$\mathrm{B}$が$1$個，$3$回目は$\mathrm{A}$が$2$個，$\mathrm{4}$回目は$\mathrm{B}$が$2$個，$5$回目は$\mathrm{A}$が$3$個，$6$回目は$\mathrm{B}$が$3$個，袋から玉を取り出す．ただし，複数個の玉を取り出すときは，同時に取り出すとする．

・$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のどちらかが赤玉を取り出したならば，その時点でゲームを終了する．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　毎回，取り出した玉を袋に戻すとする．このとき，$3$回目で$\mathrm{A}$が赤玉を取り出してゲームが終了する確率を求めよ．

(2)　毎回，取り出した玉を袋に戻さないとする．このとき，$\mathrm{A}$が赤玉を取り出してゲームが終了する確率を求めよ．

【４】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(4,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(8,4)$と，円$x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{▵ABP}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABG}$の面積の最小値を求めよ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}$および座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)\leqq 0$となる$x$の値の範囲を$a\leqq x\leqq b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．さらに，定積分$I={\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\mathit{dx}$の値を，$x=\tan \theta$とおくことにより求めよ．

(4)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸，変曲点および漸近線を調べて，曲線$C$の概形をかけ．

(5)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とし，

$P=a+b+c$

$Q=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

$R=a^3+b^3+c^3-3abc$

とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$P$が$3$の倍数ならば，$Q$は$3$の倍数となることを示せ．

(2)　$Q$が$3$の倍数ならば，$P$は$3$の倍数となることを示せ．

(3)　$R$が$3$の倍数ならば，$R$は$9$の倍数でもあることを示せ．

【２】　$0\leqq \theta <\pi$とする．$t=\cos \theta$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\cos 4\theta$を$t$の式で表せ．

(2)　$\cos 4\theta =\cos \theta$を満たすような$t$の値をすべて求めよ．

(3)　${\sin }^2{\displaystyle \frac{2}{5}}\pi +{\sin }^2{\displaystyle \frac{4}{5}}\pi$の値を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，直線$\mathrm{AB}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{GD}}\perp \overrightarrow{\mathrm{GE}}$を満たす点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$として，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{GD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GE}}$のそれぞれを，$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{GD}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{GE}}\right|$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$\mathrm{P}$を平面$\mathrm{ABC}$上の点とする．また，点$\mathrm{P}$は，直線$\mathrm{GD}$で平面$\mathrm{ABC}$を$2$つに分けたときに，点$\mathrm{E}$と同じ側にあるとする．$\mathrm{▵DGP}$の面積が$1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GE}}$の値を求めよ．

【４】　平面上に固定された円があり，円周上に点が$8$つ，円周を$8$等分するようにとられている．さらに，右図のように，番号$1$は円の中心を表し，番号$2\text{〜}$$9$はそれぞれ，円周上の点を表すとする．$1$から$9$までの番号が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがあり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人が，司会者のもとで次のゲームを行う．

　司会者は，$9$枚のカードから無作為に$3$枚をとって$\mathrm{A}$に渡し，続いて，残り$6$枚のカードから無作為に$3$枚をとって$\mathrm{B}$に渡し，続いて，残った$3$枚のカードを$\mathrm{C}$に渡す．$\mathrm{A}$は，受け取ったカードに書かれた番号が表す$3$点のうちのどの$2$点も線分で結ぶ．$\mathrm{B}$も$\mathrm{C}$も，$\mathrm{A}$と同じことを行う．このようにして，$3$人それぞれが図形を作る．

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$の作る図形が三角形でない確率を求めよ．

(2)　$3$人の作る図形がいずれも三角形である確率を求めよ．

(3)　このゲームを$4$回行ったとき，次の$6$つの条件$\text{①}\text{〜}$$\text{⑥}$がすべて満たされるとする．ただし，$1\text{〜}$$9$はそれぞれ，$1\text{〜}$$9$の番号が書かれたカードを表す．

$\text{①}$　ある回で誰かに線分で結ばれたことのある$2$点は，他のどの回においても誰にも結ばれない

$\text{②}$　$\mathrm{A}$の作る図形は$4$回とも三角形ではない

$\text{③}$　$1$回目に，$\mathrm{B}$は$3$を受け取る

$\text{④}$　$2$回目に，$\mathrm{B}$は$2$と$4$を，$\mathrm{C}$は$5$と$6$を受け取る

$\text{⑤}$　$3$回目に，$\mathrm{B}$は$2$と$3$を，$\mathrm{C}$は$6$と$7$を受け取る

$\text{⑥}$　$4$回目に，$\mathrm{C}$は$\text{2}$と$\text{8}$を受け取る

このとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のそれぞれが各回でどの番号のカードを受け取ったか答えよ．ただし，例えば，ある回で$\mathrm{A}$が$1\text{，}$$\text{2}\text{，}$$\text{3}\text{，}$$\mathrm{B}$が$\text{4}\text{，}$$\text{5}\text{，}$$\text{6}\text{，}$$\mathrm{C}$が$\text{7}\text{，}$$\text{8}\text{，}$$\text{9}$を受け取ったときは，

のように解答欄に記すとし，解答欄において番号の書かれていない部分のみを埋めよ．なお，受け取ったカードの組み合わせが正しければ，その番号の並び順は問わない．

《編注》　解答用紙は未入手

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$$\text{（}-1<x<1\text{）}$および座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$\underset{x\to -1+0}{\lim }f(x)$および$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸，変曲点および漸近線を調べて，曲線$C$の概形をかけ．

(4)　関係式$y=f(x)$について，$x$を$y$の式で表せ．また，${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dy}}}\left({\displaystyle \frac{1}{e^y+e^{-y}}}\right)$を求めよ．

(5)　曲線$C$と$x$軸，直線$x=1$および直線$y=\alpha$$\text{（}\alpha >0\text{）}$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V(\alpha )$とする．このとき，$V(\alpha )$および$\underset{\alpha \to \infty }{\lim }V(\alpha )$を求めよ．

【４-B】　$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を

${(2+\sqrt{3})}^n=a_n+\sqrt{3}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす自然数の数列とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して，${(2-\sqrt{3})}^n=a_n-\sqrt{3}{b}_n$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{c_n\}$を$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}-\sqrt{3}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．このとき，すべての自然数$n$に対して，$c_n>c_{n+1}$が成り立つことを示せ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とする．$a+b+c$が$3$の倍数ならば，$a^2+b^2+c^2$$-ab-bc$$-ca$は$3$の倍数となることを示せ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$x$についての方程式$({\log }_{2}x)({\log }_{32}x)$$+{\log }_{4}x$$+{\displaystyle \frac{3}{10}}=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(4,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(8,4)$と，円$x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．このとき，$\mathrm{▵ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

【３】　座標平面上に放物線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$がある．また，$C_1$上の点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},{\displaystyle \frac{3}{2}})$における$C_1$の接線を$l$とする．さらに，点$\mathrm{A}$において$l$と接し，点$\mathrm{B}$$(\sqrt{3},0)$を通る円を$C_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_2$の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．