2024　大分大学　推薦知能機械システムプログラム

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

1)　$f(x)=\sin x\text{，}$$g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$とし，$a$は実数とする．$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$はそれぞれ$0\leqq x\leqq 2\pi$における$y=f(x)$と$x$軸の交点の$x$座標であるとする．ただし，$x_1<x_2<x_3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

1-1)　$x=x_2$において，$y=g(x)$の接線の傾きが$y=f(x)$の接線の傾きと等しくなるとき，$y=g(x)$を求めよ．

1-2)　$0\leqq x\leqq \pi$における$y=f^{\prime }(x)$と$y=g^{\prime }(x)$のグラフを描け．ただし，$y=g(x)$は1-1)で求めたものとする．必要であれば，$\sqrt{3}<2$であることを用いてよい．

1-3)　1-1)で求めた$y=g(x)$に対し，$0\leqq x\leqq \pi$における$h(x)=g(x)-f(x)$の増減表を描き，$0\leqq x\leqq \pi$において常に$g(x)\geqq f(x)$が成立することを示せ．ただし，$h^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)$であることを用いてよい．

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

2)　$p$を実数とし，方程式$x^3-(p+1)x^2$$+(p^3-6p^2+13p-7)x$$+5(3-p)=0$$\cdots \text{①}$は解として$2\pm i$を持ち，この他に$1$つの実数解を持つ．これを満たすすべての実数$p$を求めよ．また，各$p$に対する方程式$\text{①}$の実数解も求めよ．ただし，$i^2=-1$とする．

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

3)　図1に示すように，四角形$\mathrm{ABCD}$は正方形であり，図の$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{d}$とする．点$\mathrm{E}$が線分$\mathrm{PD}$の中点であるとき，以下の$2$つの小問に答えよ．

3-1)　$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$で表せ．

3-2)　図の$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{c}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

編注）　4)は物理問題で，数学は3)まで