2024　大分大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}-2a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．

(1)　一般項$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

(2)　${S_n}^2+4S_n+4=2^{10}$を満たす$n$の値を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k=2S_n-10$を満たす$n$の値を求めなさい．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．$2$つの曲線

$C_1\text{：}y={(x-1)}^2\text{，}$$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{n}}{x}^2$

について，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．

(1)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$について，$A=\beta -\alpha$とおく．次の定積分を$A$を用いて表しなさい．

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}$

(2)　$S_n$を$n$を用いて表しなさい．

(3)　不等式$|n\sqrt{n}{S}_n-{\displaystyle \frac{4}{3}}|<{\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす最小の自然数$n$を求めなさい．

【３】　サイコロが$2$個あり，ひとつは$3$面が赤く，$3$面が黒く塗られており，もうひとつは$2$面が赤く，$4$面が黒く塗られている．これら$2$個のサイコロを使って次のゲームを行う．なお，$2$個のサイコロを同時に$1$回投げることを「試行」と呼ぶことにする．

・試行を最大$3$回繰り返す．ただし，$1$回目または$2$回目の試行で$2$個とも赤い面が出れば，以降の試行は行わずゲームを終了する．

・各試行で出た赤い面の個数の合計をゲームの得点とする．

(1)　$1$回の試行で赤い面がちょうど1個出る確率を求めなさい．

(2)　$2$回以下の試行でゲームが終了する確率を求めなさい．

(3)　起こり得るゲームの得点とその確率をすべて求めなさい．

【４】　$xy$平面の曲線

$C\text{：}x=3{\cos }^3\theta \text{，}$$y=3{\sin }^3\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

上の点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標$(3{\cos }^3\theta ,3{\sin }^3\theta )$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いてそれぞれ表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，線分$\mathrm{QR}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{S}$の軌跡を求め，図示しなさい．

(3)　(2)で得られた軌跡と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

(4)　曲線$C$の${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対応する部分の長さを求めなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(1)　$0\leqq x\leqq 3$における$2$次関数$y=x^2-2x+c$の最大値が$1$であるとき，定数$c$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において

${\displaystyle \frac{\sin A}{5}}={\displaystyle \frac{\sin B}{7}}={\displaystyle \frac{\sin C}{8}}$

が成り立つとき，$\cos B$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(3)　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=1+\sqrt{2}$のとき，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$と$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値をそれぞれ求めなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(4)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，方程式

$\sqrt{3}\sin x+\cos x=\sqrt{3}$

を解きなさい．

【１】　以下の各問に答えなさい．

(5)　${\log }_{10}2=0.3010$とするとき，$5^{10}$の桁数を求めなさい．