2024　長崎大学　前期

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3-3x^2-9x+a=0$が異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　等式$f(x)=-x^2$$+4x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=1\text{，}$$\mathrm{DA}=4$である．$\mathrm{\angle ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値および線分$\mathrm{AC}$の長さを，それぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．数列$\{a_n\}$の初項は${\displaystyle \frac{1}{3}}$で，すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}=r(1-S_n)$が成り立つ．ただし，$r$は$0<r<1$を満たす定数である．$a_2\text{，}$$a_3$を$r$を用いてそれぞれ表せ．また，$n\geqq 2$のとき，$a_{n+1}$を$r\text{，}$$a_n$を用いて表し，数列$\{a_n\}$が等比数列になるように$r$の値を定めよ．

【２】　右図のように，$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$はそれぞれ辺$\mathrm{OC}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$上にあり，線分$\mathrm{PQ}$は辺$\mathrm{OC}$と辺$\mathrm{AB}$に垂直である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{OP}:\mathrm{PC}=s:(1-s)$$\text{（}0<s<1\text{），}$$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=t:(1-t)$$\text{（}0<t<1\text{）}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を，$s\text{，}$$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{AB}$の関係から，$s\text{，}$$t$の値および線分$\mathrm{PQ}$の長さを，それぞれ求めよ．

(3)　$\mathrm{▵OAB}\text{，}$$\mathrm{▵CAB}$の重心をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

　また，線分$\mathrm{LM}$と$\mathrm{▵PAB}$との交点を$\mathrm{N}$とする．

$\mathrm{LN}:\mathrm{NM}=u:(1-u)$$\text{（}0<u<1\text{）}$

とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$u\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{N}$は$\mathrm{▵PAB}$上にあるので，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OB}}$$\text{（}\alpha +\beta +\gamma =1\text{）}$とおける．このとき，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の値をそれぞれ求めよ．また，$\mathrm{LN}:\mathrm{NM}$を求めよ．

(5)　$\mathrm{N}$は$\mathrm{▵PAB}$の重心であることを示せ．また，$\mathrm{▵QLN}$の面積$S$を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を実数とし，互いに異なるベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を，

$\overrightarrow{a}=(1,p)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(q,-1)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(-1,1)$

とする．$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$は垂直であり，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}$は平行であるとき，$p\text{，}$$q$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$n$を整数とするとき，$n^2$を$3$で割った余りは$2$にならないことを，$n=3k\text{，}$$n=3k+1\text{，}$$n=3k+2$$\text{（}k$は整数）のそれぞれの場合について示せ．

　また，$l\text{，}$$m\text{，}$$n$を整数とするとき，$l^2+m^2=n^2$ならば，$l$または$m$は$3$の倍数となることを，背理法を用いて証明せよ．

【４】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$t=\cos x$とおくとき，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$t$の式でそれぞれ表せ．また，$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$\cos x+\cos 2x+\cos 3x>0$となるような$x$の値の範囲を求めよ．

【４】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$x\text{，}$$y$に対して

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

を満たしている．このとき，$f(0)$の値を求めよ．また，$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(h)}{h}}=2$のとき，$f^{\prime }(x)$および$f(x)$をそれぞれ求めよ．

【４】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-1}^0}{\displaystyle \frac{x^2-x^4}{1+e^x}}\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{e^x(x^2-x^4)}{1+e^x}}\mathit{dx}$が成り立つことを示し，定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\displaystyle \frac{x^2-x^4}{1+e^x}}\mathit{dx}$を求めよ．

【６】　$xy$座標平面上において，$x$軸上に点${\mathrm{P}}_1$$(a_1,0)$（ただし，$a_1>2\text{）}$がある．関数$f(x)$を$f(x)=x^3-8$とするとき，$x=a_1$における曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点を${\mathrm{Q}}_1$$(a_1,f(a_1))$とする．また，${\mathrm{Q}}_1$における$C$の接線$l_1$が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_2$$(a_2,0)$とする．さらに，$x=a_2$における$C$上の点を${\mathrm{Q}}_2$$(a_2,f(a_2))$とし，${\mathrm{Q}}_2$における$C$の接線$l_2$が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_3$$(a_3,0)$とする．このような操作を繰り返して得られる数列$\{a_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{Q}}_n$$(a_n,f(a_n))$における曲線$C$の接線$l_n$の方程式を$a_n$を用いて表せ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$a_n>2$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(4)　すべての自然数$n$に対して，$a_n>a_{n+1}$を示せ．

(5)　すべての自然数$n$に対して，$a_{n+1}-2<{\displaystyle \frac{2}{3}}(a_n-2)$を示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【７】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上において，放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$l\text{：}y=x$があり，$C$と$l$で囲まれた領域の周および内部を図形$F$とする．

　また，$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$を通り，$l$に垂直な直線を$m$とし，$m$と$l$との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　図形$F$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V_1$を求めよ．

(2)　直線$m$の方程式および点$\mathrm{Q}$の座標を，$t$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの平方$\text{（}{\mathrm{PQ}}^2\text{）}$を$t$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{OQ}$の長さを$s$とするとき，$s$および${\displaystyle \frac{\mathit{ds}}{\mathit{dt}}}$を，$t$を用いてそれぞれ表せ．

(5)　図形$F$を直線$l$の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V_2$を求めよ．また，(1)で求めた$V_1$との比${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$を求めよ．

【８】　右図のように，一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$上に点${\mathrm{P}}_1$をとり，$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1=a_1$とする．ただし，$0<a_1<1$とする．

　$\mathrm{\angle }\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1=\mathrm{\angle }\mathrm{B}{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1=\mathrm{\angle }\mathrm{C}{\mathrm{R}}_1{\mathrm{S}}_1=\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$となるように点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{R}}_1\text{，}$${\mathrm{S}}_1$を，それぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CO}$上にとる．

　さらに，$\mathrm{\angle }\mathrm{O}{\mathrm{S}}_1{\mathrm{P}}_2$$=\mathrm{\angle }\mathrm{A}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$$=\mathrm{\angle }\mathrm{B}{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{R}}_2$$=\mathrm{\angle }\mathrm{C}{\mathrm{R}}_2{\mathrm{S}}_2=\theta$となるように点${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{R}}_2\text{，}$${\mathrm{S}}_2$を，それぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CO}$上にとる．

　このような操作を繰り返し，点${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}$${\mathrm{R}}_n\text{，}$${\mathrm{S}}_n$を，それぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CO}$上にとる．$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_n=a_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_n\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{R}}_n\text{，}$$\mathrm{C}{\mathrm{S}}_n$の長さを，$a_n\text{，}$$\theta$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$a_1\text{，}$$n\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(4)　${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$が同じ点のとき，$a_1$を$\theta$を用いて表せ．また，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$が異なる点のとき，この操作を繰り返すと，${\mathrm{P}}_n$は線分$\mathrm{OA}$をどのような比に内分する点に限りなく近づくか説明せよ．

【９】　$z$に関する$4$次方程式$z^4+p{z}^2+qz+27=0$$\text{（}p\text{，}$$q$は実数）がある．複素数$\alpha$と${\alpha }^2$はこの$4$次方程式の解であり，$\alpha$の実部と虚部はともに正とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\bar{z}$は複素数$z$の共役複素数を表すものとする．

(1)　$z_1\text{，}$$z_2$が複素数のとき，$\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2}\text{，}$および$\overline{z_1}\overline{z_2}=\overline{z_1{z}_2}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\bar{\alpha }$はこの$4$次方程式の解であることを示せ．

(3)　$\alpha +{\alpha }^2$は純虚数であることを示せ．

(4)　$\left|\alpha \right|$および$\alpha$の値をそれぞれ求めよ．

(5)　この$4$次方程式のすべての解を求めよ．また，$p\text{，}$$q$の値をそれぞれ求めよ．

【11】　ある町の中学校$1$年生の$50$メートル走における所要時間（単位は秒）は，母平均$m\text{，}$母分散$1$の正規分布に従うものとする．

　高校生の花子さんと太郎さんは，この母集団から無作為に何人かを抽出して，母集団の調査をそれぞれ行った．

　表１は，花子さんが$10$人の生徒$\text{（}\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}\cdots \text{，}$$\mathrm{J}\text{）}$を無作為に抽出したときの各自の所要時間（測定値）を示している．以下の問いに答えよ．必要に応じて，正規分布表を用いてもよい．

(1)　花子さんが選んだ$10$人の生徒のうち，$\mathrm{J}$を除いた$9$人の標本の平均$m_1$と分散${S_1}^2$を，それぞれ求めよ．

(2)　花子さんが選んだ(1)の$9$人の測定値の標本を用いて，母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を，小数第$3$位を四捨五入して求めよ．

(3)　花子さんが選んだ$10$人の標本の平均$m_2$と分散${S_2}^2$を，$x$を用いてそれぞれ表せ．また，$8\leqq x\leqq 10$のとき，平均$m_2$と分散${S_2}^2$の取り得る値の範囲を，それぞれ求めよ．

(4)　太郎さんは，花子さんとは別に$4$人の生徒を無作為に抽出して調べることとした．母平均$m=8$のとき，$4$人の標本の平均が$9$秒以上となる確率を，小数第$3$位を四捨五入して求めよ．

教育(小学,幼児,特別支援,中学(実技系)教育コース),経済,環境科,水産,情報データ科(A)学部　【１】,【２】

教育(中学(理系)教育コース),薬,歯,工学部　【３】(【１】(4)参照),【４】,【６】,【７】

医学部　【５】(【３】(1),(3),【４】(2),(3)参照),【７】,【８】,【９】

情報データ科(B)学部　【３】(【１】(4)参照),【４】,【６】必須,【10】(【７】参照),【11】から１題選択