2024　佐賀大学　後期

【１】　$3$つのさいころを同時に投げるとき，次の問に答えよ．

(1)　出た目の合計が$15$以上になる確率を求めよ．

(2)　出た目の合計が$14$以下であったとき，$1$の目が出たさいころが少なくとも$1$つある条件つき確率を求めよ．

(3)　出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=100\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha =\sqrt{\alpha +2}$を満たす$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．(1)の$\alpha$について，不等式

$a_n>a_{n+1}>\alpha$

を数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　$a_n>3$を満たす自然数$n$のうち，最大のものを求めよ．

(4)　(1)の$\alpha$について，不等式

$a_{n+1}-\alpha <{\displaystyle \frac{1}{4}}(a_n-\alpha )$

が成り立つことを示せ．さらに，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$を示せ．

【３】　複素数平面上で，原点および点$3+i$を通る直線を$l$とする．次の問に答えよ．

(1)　点$z$を原点のまわりに$3+i$の偏角だけ回転した点を$w$とする．$w$を$z$を用いて表せ．

(2)　複素数$z$と共役な複素数を$\bar{z}$とし，直線$l$に関して点$z$と対称な点を$z^{\prime }$とする．$z^{\prime }$を$\bar{z}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{A}(1+i)\text{，}$$\mathrm{B}(2+i)$とする．点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の最小値と，最小値を与える点$\mathrm{P}$を表す複素数を求めよ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x^2+1}}$

について，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点を調べる必要はないものとする．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=100\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha =\sqrt{\alpha +2}$を満たす$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．(1)の$\alpha$について，不等式

$a_n>a_{n+1}>\alpha$

を数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　$a_n>3$を満たす自然数$n$のうち，最大のものを求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$は

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle AOC}=\mathrm{\angle BOC}=45\mathrm{°}$

を満たすとする．次の問に答えよ．

(1)　辺$\mathrm{OC}$の長さを求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の定める平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の長さを求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，この四面体のすべての面に内接する球の半径を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3-9x$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求め，そのグラフをかけ．

(2)　$t$を実数とし，区間$t\leqq x\leqq t+3$における$f(x)$の最大値を$M(t)$で表す．関数$M(t)$を求め，そのグラフをかけ．

(3)　(2)のグラフと$t$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．