2024　佐賀大学　前期

【１】　平面上に$\mathrm{OA}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$を満たす$\mathrm{▵OAB}$がある．頂点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BC}$とする．また，頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OD}$とする．このとき，点$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$の形に表すとき，$s$と$t$の値を求めよ．さらに，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|$の値を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の値を求めよ．

【２】　座標平面上で，点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$を出発点とし，$1$個のさいころを投げて出た目によって次の通りに動くものとする．

出た目が奇数のとき，$x$軸の正の向きに$1$だけ動く

出た目が$2$または$4$のとき，$x$軸の負の向きに$1$だけ動く

出た目が$6$のとき，$y$軸の正の向きに$1$だけ動く

$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1)　さいころを$n$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(1,n-1)$となる場合は何通りあるか．

(2)　さいころを$n$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(0,n-2)$となる場合は何通りあるか．

(3)　さいころを$n$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$0$以上，かつ$y$座標が$n-2$以上となる場合は何通りあるか．

【３】　$k$を定数とする．曲線$y=e^{\sqrt{x}}$と直線$y=kx$が$1$点$\mathrm{P}$で接しているとき，次の問に答えよ．

(1)　定数$k$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$y=e^{\sqrt{x}}$と直線$y=kx$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　複素数平面上に$\left|\alpha \right|=2$を満たす点$\mathrm{A}(\alpha )$がある．方程式

$|z-1|=\sqrt{2}$$\cdots \text{①}$

$|z-\alpha |=\sqrt{5}$$\cdots \text{②}$

について，次の問に答えよ．

(1)　複素数平面上で方程式$\text{①}$を満たす点$z$の全体が表す図形を描け．また，方程式$\text{①}$および$\text{②}$を満たす複素数$z$の個数が$2$個であることを示せ．

(2)　方程式$\text{①}$および$\text{②}$を満たす複素数$z$について

$\bar{z}(\alpha -1)+z(\bar{\alpha }-1)=0$

が成り立つことを示せ．

(3)　方程式$\text{①}$および$\text{②}$を満たす異なる$2$つの複素数を$\beta \text{，}$$\gamma$とする．$2$点$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$と原点$\mathrm{O}$が一直線上にあることを示せ．また，$\left|\beta \right|=b$とおくとき，$\left|\gamma \right|$を$b$を用いて表せ．

【３】　$t$は$0<t<1$を満たすとする．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2tx+1\text{，}$$g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-(t-2)x-2t+1$

とおく．次の問に答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$および直線$x=2t$で囲まれた$2$つの図形のうち，左側の図形の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，(2)の$S(t)$の増減を調べ，極値を求めよ．

【４】　$f(x)=4x^3-3x$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，方程式$f(x)=a$が異なる実数解を$3$個もつための，定数$a$についての条件を求めよ．

(2)　$\cos 3\theta =f(\cos \theta )$を示せ．

(3)　方程式$f(x)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$の実数解をすべて求めよ．

【３】　$k$を定数とする．曲線$y=e^{\sqrt{x}}$と直線$y=kx$が$1$点$\mathrm{P}$で接しているとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=e^{\sqrt{x}}$の凹凸，変曲点を調べ，その外形をかけ．

(2)　定数$k$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　曲線$y=e^{\sqrt{x}}$と直線$y=kx$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．