2024　九州工業大学　前期

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^n}}\text{，}$

$g(x)={\displaystyle \frac{5}{12}}{x}^4+({\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^3-2)x-\log x$$+{\displaystyle {\int }_e^x}(f(t)+x{t}^2)\mathit{dt}$

について，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数$h(x)=3x^3-2-{\displaystyle \frac{1}{x}}$は$x>0$で増加することを示せ．また，$x>0$の範囲で方程式$h(x)=0$を解け．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．

(ⅲ)　$e^{({\pi }^n)}$と${\pi }^{(e^n)}$の大小関係を調べよ．必要であれば，$e<\pi$を用いてよい．

(ⅳ)　$g(x)$が最小になるときの$x$の値を求めよ．

(ⅴ)　$g(x)$の最小値を求めよ．

$C\text{：}{\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

は$3$直線

$l_1\text{：}y=x\text{，}$$l_2\text{：}y=-x+2\text{，}$$l_3\text{：}y=-t$

に接しているとし，$C$と$l_1$の接点を$\mathrm{P}$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$l_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$が点$(1,0)$を通るとき，$t$の値を求めよ．

(ⅳ)　曲線$C$の媒介変数表示を$x=1+a\cos \theta \text{，}$$y=b\sin \theta$とし，点$\mathrm{P}$の座標を$(1+a\cos \beta ,b\sin \beta )$と表す．$t$が(ⅲ)で求めた値のとき，$\beta$$\text{（}0\leqq \beta <2\pi \text{）}$を求めよ．

(ⅴ)　$t$は(ⅲ)で求めた値とし，曲線$C$の$y\geqq 0$の部分を$C_1$とする．$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$と曲線$C_1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅰ)　$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$とする．$z^9$と$z^3+{\bar{z}}^3$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表し，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(ⅱ)　$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$に対して，$8{\cos }^3{\displaystyle \frac{2k\pi }{9}}-6\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{9}}+1$を求めよ．

(ⅲ)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}+\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{9}}+\cos {\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$と$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}\cdot \cos {\displaystyle \frac{4\pi }{9}}\cdot \cos {\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$を求めよ．

(ⅳ) $k=1\text{，}$$2\text{，}$$4$に対して，$\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{9}}$は無理数であることを示せ．

(ⅴ)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$は$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c$は有理数，$a\ne 0\text{）}$の解とはならないことを示せ．

$S_n=\{x|x\in X_n\text{かつ}x\text{の最後の文字が}\mathrm{A}\}\text{，}$

$T_n=\{x|x\in X_n\text{かつ}x\text{の最後の文字が}\mathrm{B}\}$

の要素の個数をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n$とおく．例えば，$n=1$のとき，$X_1=\{\mathrm{A},\mathrm{B}\}\text{，}$$S_1=\{\mathrm{A}\}\text{，}$$T_1=\{\mathrm{B}\}$より，$a_1=1\text{，}$$b_1=1$である．また，$n=2$のとき，$X_2=\{\mathrm{AA},\mathrm{AB},\mathrm{BA}\}\text{，}$$S_2=\{\mathrm{AA},\mathrm{BA}\}\text{，}$$T_2=\{\mathrm{AB}\}$より，$a_2=2\text{，}$$b_2=1$である．次に答えよ．

(ⅰ)　$a_3\text{，}$$b_3\text{，}$$a_4\text{，}$$b_4$を求めよ．

(ⅱ)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$をそれぞれ$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_n\geqq 100$と$b_n\geqq 100$をともにみたす最小の$n$を求めよ．

(ⅳ)　自然数$a\text{，}$$b$と$c=a+b$に対して，

$L=\{d|d\text{は}a\text{，}b\text{の公約数}\}\text{，}$$R=\{d|d\text{は}a\text{，}c\text{の公約数}\}$

とする．$L\subset R$と$L\supset R$がともに成り立つこと（つまり$L=R\text{）}$を示せ．また，すべての自然数$m$に対して，$a_m$と$b_m$は互いに素であることを数学的帰納法により示せ．

(ⅴ)　$r_n={\displaystyle \frac{a_n}{a_n+b_n}}$とする．ある関数$f(x)$により等式$r_{m+1}=f(r_m)$がすべての自然数$m$について成立する．$f(x)$をひとつ求めよ．また，極限値$\underset{m\to \infty }{\lim }{r}_m$を求めよ．