2024　九州大学　後期MathJax

【１】　$xyz$空間内の点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の座標をそれぞれ$(2,1,0)\text{，}$$(9,0,0)\text{，}$$(6,9,0)\text{，}$$(5,8,2\sqrt{2})$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の半径を求めよ．

(2)　(1)で求めた円の周上を移動する点を$\mathrm{E}$とする．三角形$\mathrm{ABE}$の面積が$25$となるときの点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{E}$の$x$座標は$y$座標より大きいとする．

(3)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$および(2)で求めた点$\mathrm{E}$を通る球面上を移動する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする．四面体$\mathrm{ABEP}$の体積が最大となるときの体積$V$を求めよ．また，四面体$\mathrm{ABEP}$の体積が${\displaystyle \frac{3}{5}}V$を保つように点$\mathrm{P}$が移動したときの，点$\mathrm{P}$が描く図形の方程式を求めよ．

【２】　$x$を実数として，次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_{n+2}=x{a}_{n+1}-a_n\text{，}$$a_0=1\text{，}$$a_1=x$

(1)　$x=2$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$x=-2$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$x$を変数とみると，すべての自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$について，$a_n(x)$が$x$に関する$n$次式であること，および$x^n$の係数が$1$であることを示せ．

(4)　すべての自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$について，$x$に関する$n$次方程式$a_n(x)=0$は，$-2$より大きく$2$より小さい異なる$n$個の実数解をもち，これらの解は$a_{n+1}(x)=0$の解と交互に並ぶことを示せ．ここで，解が交互に並ぶとは，$a_n(x)=0$の解を値が小さい順に$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$b_n$と記述し，$a_{n+1}(x)=0$の解を値が小さい順に$c_1\text{，}$$c_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$c_{n+1}$と記述するとき，

$c_1<b_1<c_2<b_2<\cdots$$<c_n<b_n<c_{n+1}$

となることを意味する．ただし，$n$次方程式$f(x)=0$は$n$個の解$d_1\text{，}$$d_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$d_n$をもち，$f(x)$はある実数$k$を用いて

$f(x)=k(x-d_1)(x-d_2)\cdots (x-d_n)$

と表せるという事実を用いてよい．

【３】　$n$は自然数とし，$z_0=1$とする．さいころを$n$回投げて以下の規則により複素数$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$z_n$を定める．

(a)　さいころを投げて$k$回目に奇数が出たとき，$z_k=z_{k-1}$とおく．

(b)　さいころを投げて$k$回目に偶数$2m$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$が出たとき，$z_k=i^m{z}_{k-1}$とおく．ただし，$i$は虚数単位である．

以下の問いに答えよ．

(1)　$z_n$が正の実数となる確率を$P_n$とおき，$z_n$が負の実数となる確率を$Q_n$とおく．$P_1\text{，}$$Q_1\text{，}$$P_2\text{，}$$Q_2$を求めよ．

(2)　(1)で定めた$P_n$と$Q_n$を考える．すべての$n$について$P_n+3Q_n=1$が成立することを示せ．

(3)　(1)で定めた$P_n$を求めよ．

【４】　曲線$C\text{：}y={(1-x^2)}^2$と，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(k,{(1-k^2)}^2)$を考える．ただし，$k$は正の実数とする．また点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$k\ne 1$とする．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{P}$とは異なる$1$点でのみ曲線$C$と接線$l$が交わるとき，$k$の値を求めよ．

(3)　$k$が(2)で求めた値のとき，曲線$C$と接線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【５】　実数$x\text{，}$$y$と虚数単位$i$を用いて表される複素数$z=x+yi$に対して，$z$の絶対値を$\left|z\right|$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上の領域

$E=\left\{z\right|\left|{\displaystyle \frac{z-1-i}{z+1+i}}\right|\leqq 1\}$

を複素数平面上に図示せよ．

(2)　複素数$\alpha ={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}i}{4}}$を極形式で表せ．

(3)　複素数平面上の領域

$D_0=\left\{z\right||z-\sqrt{2}-\sqrt{6}|\leqq 2\}$

を考える．また，(2)の複素数$\alpha$と領域$D_0$を用いて領域$D_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を次式で定義する．

$D_n=\{z|z={\alpha }^{n}w\text{，}w\in D_0\}$

さらに領域$D_n$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$と(1)の領域$E$の共通領域の面積を$s_n$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．$s_1$を求めよ．

(4)　(3)で定めた$s_n$に対して${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{s}_n$を求めよ．