2024　九州大学　前期

【１】　$a$を実数とし，座標空間内の$3$点$\mathrm{P}$$(-1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{R}$$(a,a^2,a^3)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\ne -1\text{，}$$a\ne 1$のとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は一直線上にないことを示せ．

(2)　$a$が$-1<a<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

【２】　整式

$f(z)=z^6+z^4+z^2+1$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(z)=0$をみたすすべての複素数$z$に対して，$\left|z\right|=1$が成り立つことを示せ．

(2)　次の条件をみたす複素数$w$をすべて求めよ．

条件：$f(z)=0$をみたすすべての複素数$z$に対して$f(wz)=0$が成り立つ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$a\text{，}$$b$が$a<b$をみたすとき，${\displaystyle \frac{b!}{a!}}\geqq b$が成り立つことを示せ．

(2)　$2\cdot a!=b!$をみたす自然数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(3)　$a!+b!=2\cdot c!$をみたす自然数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

【４】　$n$を$3$以上の整数とする．座標平面上の点のうち，$x$座標と$y$座標がともに$1$以上$n$以下の整数であるものを考える．これら$n^2$個の点のうち$3$点以上を通る直線の個数を$L(n)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$L(3)$を求めよ．

(2)　$L(4)$を求めよ．

(3)　$L(5)$を求めよ．

【５】　自然数$m\text{，}$$n$に対して

$I(m,n)={\displaystyle {\int }_1^e}{x}^m{e}^x{(\log x)}^n\mathit{dx}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)\text{，}$$I(m,n)\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

(2)　すべての自然数$m$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }I(m,n)=0$が成り立つことを示せ．

【１】　$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=2x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=2x^2-8x+16$

の両方に接する直線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$$(2,1)$を考える．点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{10}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$s\text{，}$$t$を正の実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす点$\mathrm{C}$を考える．三角形$\mathrm{OAC}$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積が等しく，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=4$が成り立つとき，$s\text{，}$$t$の値を求めよ．