2024　高知大学　前期

【１】　$f(x)=x^2$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．実数$t$を曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)+t$で囲まれた部分の面積が$36$となるように決める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$の値を求めよ．

(2)　$a\ne 0$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(b,f(b))$における接線の方程式を$y=h(x)$とする．実数$s$を曲線$y=f(x)$と直線$y=h(x)+s$で囲まれた部分の面積が$36$となるように決める．さらに，直線$y=g(x)+t$と$y=h(x)+s$が直交するとき，この$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とする．交点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$\mathrm{P}$は，$0$でないどのような$a$に対しても，すべて一つの直線上にあることを示せ．

(4)　(2)の$\mathrm{P}$が曲線$y=f(x)$上にあるような$a$の値をすべて求めよ．

【２】　$1000$以下の自然数$x$に対し，集合$A(x)$と集合$B(x)$を次で定義する．

$A(x)=\{a|1\leqq a\leqq 1000\text{かつ}a\text{は}x\text{の倍数}\}$

$B(x)=\{b|1\leqq b\leqq 1000\text{かつ}x\in A(b)\}$

また，有限集合$P$の要素の個数を$n(P)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n(A(5))$を求めよ．

(2)　$n(A(5)\cup A(7)\cup A(11))$を求めよ．

(3)　$B(99)$の要素をすべて求めよ．

(4)　$n(B(x))=14$を満たす$x$をすべて求めよ．

【３】　正五角形$\mathrm{ABCDE}$の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通る直線は三角形$\mathrm{ABF}$ の外接円に接することを証明せよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABF}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

(3)　${\mathrm{AF}}^2=\mathrm{AC}\cdot \mathrm{CF}$を証明せよ．

【４】　$a$を正の実数とする．$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1$と$C_2$を次で定義する．

$C_1\text{：}y={(x-a)}^2$

$C_2\text{：}y=-x^2+5$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$つの共有点を持つような$a$の範囲を求めよ．さらに，これらの共有点のうち，$x$座標の小さなものを$\mathrm{P}$とし，もう一つを$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$C_1$の頂点を$\mathrm{R}$とする．(1)の$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$に対し，$\mathrm{\angle PRQ}=90\mathrm{°}$が成り立つとする．このとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る円と$y$軸との交点の座標をすべて求めよ．

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=4\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=3$とする．辺$\mathrm{OA}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$(1-s):s$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，辺$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$s$は$0<s<1$を満たすとする．さらに，$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos (\mathrm{\angle AOB})$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=t\overrightarrow{c}$を満たす$t$を$s$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{EG}$の長さを最小にする$s$の値と，そのときの線分$\mathrm{EG}$の長さを求めよ．

【２】　$a$を実数とする．$x\geqq 0$に対し，関数$f(x)$を次で定義する．

$f(x)=8^x+8^{-x}$$-3(4^x+4^{-x})$$-3(2^{1+x}+2^{1-x})+a$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)<0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(4)　$x$の方程式$f(x)=0$がただ一つの実数解をもつような$a$の値をすべて求めよ．ただし，$x\geqq 0$において$t=2^x+2^{-x}$が単調に増加することは用いてよい．

【３】　$n$を自然数とする．関数$f_n(x)$は数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を用いて

$f_n(x)=a_{n}x+b_n$

と表されるとする．また，$f_n(x)$と$f_{n+1}(x)$は

$x{f}_{n+1}(x)=4{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)\mathit{dt}+5x$

を満たすとする．さらに，$a_1=3\text{，}$$b_1=2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．