2024　愛媛大学　後期

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}=\text{(ア)}$であり，$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\log 3x}{\log 2x}}=\text{(イ)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　$f(x)=3\sin 2x+\tan x$のとき，$f^{\prime }(0)=\text{(ウ)}$であり，$f^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\text{(エ)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}x{e}^{2x^2}\mathit{dx}=\text{(オ)}$であり，${\displaystyle {\int }_0^2}{x}^3{e}^{2x^2}\mathit{dx}=\text{(カ)}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　関数$f(x)=x^2-4|x-1|+2$は，$x=\text{(キ)}$で最小となり，$x=\text{(ク)}$で極大となる．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　$1$円と$10$円の硬貨がそれぞれ$4$枚あり，これら$8$枚の硬貨を横$1$列に並べる．ただし，同じ金額の硬貨は区別しないものとする．このとき，少なくとも一方の金額の硬貨が$2$枚以上続く並べ方は全部で$\text{(ケ)}$通りある．また，左から$4$枚の硬貨の金額の合計を$n$円とするとき，$n$が素数となる並べ方は全部で$\text{(コ)}$通りある．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x>1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

(ⅰ)　$x\log x>x-1$

(ⅱ)　$x^{\frac{x}{x-1}}>e$

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　複素数平面上に異なる$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$があり，複素数$\alpha \text{，}$$\beta$は等式${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}+{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=1$を満たすとする．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の値をすべて求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵OAB}$は正三角形であることを証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$は公比が$r$の等比数列で，$2$つの等式

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n=-2\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\left|a_n\right|=6$

を満たすとする．このとき，$a_1$および$r$の値を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$s\text{，}$$t$を実数とし，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AD}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

を満たすとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{f}$とする．

　以下の問いに答えよ．

(1)　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{f}$の値は$\text{(ア)}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=k\overrightarrow{b}+l\overrightarrow{f}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{f}$と表すとき，

$k=\text{(イ)}\text{，}$$l=\text{(ウ)}\text{，}$$m=\text{(エ)}\text{，}$$n=\text{(オ)}$

である．

(2)(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{f}\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$および$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$t\geqq 0$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は垂直であるとする．また，$\mathrm{▵APQ}$の面積を$S$とする．

(ⅰ)　$s$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$S$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$S$の最小値を求めよ．