2024　愛媛大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=-x^3+3x-1$の極値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq x<\pi$のとき，方程式$4\sin x\cos x=\sqrt{3}$を解け．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　第$2$項が$6$で，初項から第$3$項までの和が$21$であり，公比が$1$より小さい等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　出た目の積が奇数になる確率

(ⅱ)　出た目の積が$4$の倍数になる確率

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　$a\text{，}$$b$を実数とし，$i$を虚数単位とする．$1+i$が$3$次方程式$x^3+a{x}^2-4x+b=0$の解であるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$が自然数のとき，$3^{n+1}+7^n$が$4$の倍数であることを証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$s\text{，}$$t$を$s>t>0$を満たす実数とする．

(ⅰ)　不等式${\displaystyle \frac{s+t}{2}}>\sqrt{st}$が成り立つことを証明せよ．

(ⅱ)　${\log }_{10}{\displaystyle \frac{s+t}{2}}$と${\displaystyle \frac{{\log }_{10}s+{\log }_{10}t}{2}}$との大小を調べよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}2x-y<0\\ x+y>0\end{array}$

の表す領域を$D$とする．

(ⅰ)　$D$を座標平面上に図示せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$$(s,t)$は領域$D$内にあるとする．$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円が，$2$直線$2x-y=0\text{，}$$x+y=0$の両方に接するとき，$s$と$t$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を実数とする．座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(-2,0,\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-2,\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{C}$$(t,t,0)$がある．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とし，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とする．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(ⅱ)　$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$S$を$t$を用いて表せ．

(ⅳ)　$S$の最小値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　放物線$y=x^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とし，$l$の傾きは$1$であるとする．また，放物線$C$と直線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S$とし，放物線$C$と直線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の座標および接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$S$の値を求めよ．

(ⅲ)　$T$の値を求めよ．

(ⅳ)　$S$と$T$の値の大小を調べよ．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　$i$を虚数単位とする．$z=\sqrt{3}+i$のとき，${\displaystyle \frac{1}{z}}$の絶対値は$\text{(ア)}$であり，また，$iz$の偏角$\theta$は$\text{(イ)}$である．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{(y-1)}^2=1$上の点$(\sqrt{3},{\displaystyle \frac{3}{2}})$における接線の方程式が$y=ax+b$であるとき，$a=\text{(ウ)}\text{，}$$b=\text{(エ)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}}{\sin }^2\theta \mathit{d\theta }=\text{(オ)}$であり，${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}}\mathit{dx}=\text{(カ)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}=\text{(キ)}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^n}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{(2x-1)(2x+1)}}=\text{(ク)}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が奇数になる確率は$\text{(ケ)}$であり，出た目の積が$4$の倍数になる確率は$\text{(コ)}$である．

【５】　以下の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=|x^3\cos x|$が$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に

点${\mathrm{A}}_n(x_n,y_n)$および点${\mathrm{B}}_n(-y_n,x_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

がある．ただし，$x_1=y_1=1$とし，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(ⅰ)　$x_2\text{，}$$y_2\text{，}$$x_3\text{，}$$y_3$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$は$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_n\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n$が直角の直角二等辺三角形であることを証明せよ．

(ⅲ)　$r_n=\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n}\right|$とおくとき，$r_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}}\right|$を求めよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を実数とし，$t$を正の実数とする．関数$y=\log x$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C$とする．また，$C$は点$\mathrm{P}$$(t,t)$において，直線$y=x$に接しているとする．曲線$C$と直線$y=x$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とし，曲線$C$と直線$x=t$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　曲線$C$と$x$軸の交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)(a)　$A$を実数とするとき，不定積分${\displaystyle \int }\log (x+A)\mathit{dx}$を求めよ．

(b)　$T$を$t$を用いて表せ．

(ⅳ)　極限$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S}{T^2}}$を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育（学校教育教員養成課程数I・数II・数A・数B受験者）工（工学科文理型入試），農学部　【１】，【２】，【３】

理，工（工学科文理型入試除く），医（医学科）学部　【４】，【５】，【６】