2024　香川大学　前期MathJax

【１】　整式$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りが$-9\text{，}$${(x-2)}^3$で割ったときの余りが$3x^2-2x+4$であるとき，次の問に答えよ．

(1)　$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　$P(x)$を${(x-2)}^2$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$P(x)$を$(x+1){(x-2)}^2$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　実数$m$に対し，$2$直線

$l_1\text{：}mx+y=m+1\text{，}$$l_2\text{：}x-my=2m-3$

を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$l_1$と$l_2$は垂直であることを示せ．

(2)　直線$l_1$は$m$の値によらないある$1$点を必ず通る．その点の座標を求めよ．

(3)　$m$が正の実数全体を動くときの$l_1$と$l_2$の交点の軌跡を求め，図示せよ．

【３】　平面上の$\mathrm{▵ABC}$と点$\mathrm{O}$を考え，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．これらについて

$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-1\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=1$

が成り立っているとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

【４】　$2$つの曲線$y=\tan x$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$y=\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の交点の$x$座標を$\alpha$とし，これら$2$つの曲線と$x$軸で囲まれてできる図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\sin \alpha$の値を求めよ．

(2)　$D$の面積を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とし，曲線$y=2x^3-3x^2+1$を$C\text{，}$直線$y=a^2(2x+1)$を$l$とする．$C$と$l$が$y>0$の範囲において異なる$2$点で交わるとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$x$軸と曲線$C$で囲まれてできる図形の面積$S_1$を求めよ．

(3)　$y>0$の範囲にある曲線$C$と直線$l$の交点の$x$座標のうち，小さい方を$p$とおく．直線$x=p$と$x$軸，および$l$で囲まれてできる図形の面積を$S_2$とするとき，$S_1=6S_2$となる$a$の値を求めよ．

【３】　各項が自然数である$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を等式

$a_n+b_n\sqrt{5}={(2+\sqrt{5})}^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について，$a_n-b_n\sqrt{5}={(2-\sqrt{5})}^n$が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【４】　定積分

$I_1={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x\sin x}{1+|\cos x|}}\mathit{dx}\text{，}$$I_2={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{(\pi -x)\sin x}{1+|\cos x|}}\mathit{dx}$

について，次の問に答えよ．

(1)　$I_1=I_2$であることを示せ．

(2)　$I_1$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における，$I(t)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{\sin (x+t)}{1+|\cos x|}}\mathit{dx}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．