2024　徳島大学　後期理工学部

【１】　曲線$y=x^3-3x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$$(4,16)$および$C$の変曲点$\mathrm{Q}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$における$C$の接線および法線の方程式を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最大となる点$\mathrm{R}$の$x$座標$\alpha$を求めよ．

(3)　(2)の$\alpha$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_{\alpha }^4}(x^3-3x^2)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{G}\text{，}$対角線$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<k<1$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=1$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{EF}}\right|}^2$および内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}$を$k$を用いて表せ．

(3)　平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．

(4)　平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積が三角形$\mathrm{EFP}$の面積の$6$倍であるとき，$k$の値を求めよ．

【３】　$f(x)=x^2-3$とおき，曲線$y=f(x)$を$C$とする．$a_1=3$とし，点$(a_1,f(a_1))$における$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_2$とする．次に点$(a_2,f(a_2))$における$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_3$とする．同様に，$3$以上の自然数$n$に対して，点$(a_n,f(a_n))$における$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$a_n>\sqrt{3}$を示せ．

(3)　$a_{n+1}-\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\beta }}(a_n-\alpha )+{\displaystyle \frac{3}{\beta }}({\displaystyle \frac{1}{a_n}}-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす正の実数$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．