2024　徳島大学　前期

【１】　$a\text{，}$$b$を$0$以上の実数とする．以下の$X\text{，}$$Y$に関する方程式を考える．

(＊)　$\log X+\log Y=a\text{，}$$\log (X+Y)=b$

(1)　$X\text{，}$$Y$が方程式(＊)を満たすとき，$X+Y$および$XY$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　方程式(＊)を満たす正の実数$X\text{，}$$Y$が存在するための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

(3)　方程式(＊)を満たす$1$以上の実数$X\text{，}$$Y$が存在するための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

(4)　$a\text{，}$$b$が(3)の条件を満たすとき，$a+b$の最小値を求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$について考える．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2-3n{a}_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．また，$n\geqq 2$のとき，$a_n<0$を示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がこの順番で反時計回りに位置している．$\mathrm{\angle AOB}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=\beta$$\text{（}\alpha >0\text{，}$$\beta >0\text{）}$とする．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}$$\beta ＝{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$の値を求めよ．

(2)　$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\sqrt{2}\sin \alpha =\cos \alpha$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．

(3)　$\alpha +\beta =\pi$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たす座標平面上の点$\mathrm{P}$が$1$点のみとなる条件を$\alpha$を用いて表せ．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-1$を$C$とする．

(1)　曲線$C$上の点$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)$$\text{（}t\ne 0\text{）}$における法線の方程式を求めよ．

(2)　点$(-1,{\displaystyle \frac{3}{2}})$を通る曲線$C$の異なる$2$つの法線を求めよ．

(3)　曲線$C$の$x\geqq 0$の部分と，(2)で求めた$2$つの法線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　曲線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-1$を$C$とする．

(1)　曲線$C$上の点$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)$$\text{（}t\ne 0\text{）}$における法線の方程式を求めよ．

(2)　点$(-1,{\displaystyle \frac{3}{2}})$を通る曲線$C$の異なる$2$つの法線を求めよ．

(3)　(1)で求めた法線のうちで，点$(X,Y)$$\text{（}X\ne 0\text{）}$を通るものがちょうど$2$つ存在するための条件を$X$と$Y$の関係式で表せ．

【３】　関数$f(x)$は$x\geqq 0$のとき$f(x)\geqq 0$を満たす．自然数$n$に対して，連立不等式$0\leqq x\leqq n\text{，}$$0\leqq y\leqq f(x)$の表す$xy$平面上の領域の面積を$S_n\text{，}$その領域に含まれる$x$座標と$y$座標がともに整数である点の個数を$L_n$とおく．

(1)　$f(x)=x^3$のとき，$L_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$f(x)=x^3$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{L_n}{S_n}}$を求めよ．

(3)　$f(x)=x{e}^x$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{S_n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^n}k{e}^k$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{L_n}{S_n}}$を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを$3$の倍数でない目が出るまで繰り返し投げるが，$3$の倍数の目が$4$ 回続けて出たら投げるのを止める．これを$1$回の試行とする．$1$回目の試行において出た目の和を$S_1\text{，}$$2$回目の試行において出た目の和を$S_2$とおき，$S=S_1+S_2$とおく．

(1)　$S_1\geqq 6$となる確率，および$S_1\geqq 7$となる確率を求めよ．

(2)　$S=9$となる確率を求めよ．

(3)　$S\geqq 11$となる確率を求めよ．