2024　山口大学　後期理学部数理科学科

【１】　次の問いに答えなさい．解答は解答用紙の所定の枠内に答のみを書きなさい．

(1)　$x$についての$3$次方程式

$x^3+(a^2+6a-10)x^2$$+(a^4-a^2-6a+9)x$$-a^4=0$

がちょうど$2$つの実数解をもつように，実数$a$の値を定めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．解答は解答用紙の所定の枠内に答のみを書きなさい．

(2)　$2$つの等式

$\left|z\right|=\sqrt{3}\text{，}$$|z-2-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}i|=r$

を同時に満たす複素数$z$が存在するような実数$r$を考える．ここで，$i$は虚数単位とする．

(ⅰ)　$r$の最大値と最小値を求めなさい．

(ⅱ)　$r$が最大値をとるとき，$z^6$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．解答は解答用紙の所定の枠内に答のみを書きなさい．

(3)　座標空間に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(-4,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(6,3,-3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,1,2)$をとり，線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$m\text{，}$$n$は正の数とする．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めなさい．

(ⅱ)　$\mathrm{PR}\perp \mathrm{QS}$が成り立つとき，比の値${\displaystyle \frac{m}{n}}$を求めなさい．

【２】　$n$と$p$を自然数とする．$1$から$n$までの自然数の$p$乗の和を$S_p(n)$とおく．すなわち，

$S_p(n)=1^p+2^p$$+\cdots +n^p$$={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^p$

とする．$S_1(n)\text{，}$$S_2(n)\text{，}$$S_3(n)$については，それぞれ

$S_1(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\text{，}$$S_2(n)={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)\text{，}$$S_3(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}{n}^2{(n+1)}^2$

が成り立つ．それでは，以下にしたがって，$S_5(n)$について考察してみよう．次の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{S}_3(k)$を$S_5(n)\text{，}$$S_4(n)\text{，}$$S_3(n)$を用いて表しなさい．

(2)　$A_p(n)=n(n+1)S_p(n)$とする．$k\geqq 2$である整数$k$について，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$A_p(k)-A_p(k-1)-2k{S}_p(k)$$=k^{p+2}-k^{p+1}$

(3)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$S_{p+2}(n)-S_{p+1}(n)$$=n(n+1)S_p(n)$$-2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{S}_p(k)$

(4)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$S_5(n)={\displaystyle \frac{1}{12}}{n}^2{(n+1)}^2(2n^2+2n-1)$

【３】　側面の展開図が半径$1$の扇形である円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$C$を考える．$C$の頂点を$\mathrm{L}$とし，$C$の底面の中心を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{LM}$上の点で$\mathrm{L}$および$\mathrm{M}$と異なるものとし，線分$\mathrm{LM}$および$\mathrm{PM}$の長さをそれぞれ$h\text{，}$$x$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り円錐$C$の底面に平行な平面を$\alpha$とし，$\alpha$で$C$を切ったときの切り口の円を$S$とする．さらに，円$S$に内接する長方形$R$と，$8$つの頂点のうち$4$つが$\mathrm{R}$の頂点であり残り$4$つが円錐$C$の底面上にあるような直方体$D$を考える．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　長方形$R$の対角線の長さを，$h$と$x$を用いて表しなさい．

(2)　円$S$に内接するすべての長方形$R$を考えるとき，$R$の面積が最大となるのは$R$の隣りあう$2$辺の長さが等しいときであることを示し，直方体$D$の体積の最大値を$h$と$x$を用いて表しなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{LM}$上を動くとき，直方体$D$の体積の最大値を$h$を用いて表しなさい．

(4)　円錐$C$の高さを変え，側面の展開図が半径$1$の扇形であるようなすべての円錐を考える．直方体$D$の体積が最大となるとき，$h$の値と$D$の体積を求めなさい．