2024　山口大学　前期

【１】　$a\text{，}$$k$を$a\ne 0\text{，}$$k\ne 1$を満たす定数とし，座標平面上の曲線$y=x^2$を$C$とする．直線$l$は点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$において曲線$C$と接し，直線$m$は点$\mathrm{B}$$(ka,k^2{a}^2)$において曲線$C$と接するものとする．また$2$直線$l$と$m$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{D}$の座標を$a\text{，}$$k$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$であるための必要十分条件を$a\text{，}$$k$を用いて表しなさい．

(3)　直線$\mathrm{AB}$と直線$l$が垂直であるための必要十分条件を$a\text{，}$$k$を用いて表しなさい．

(4)　$\mathrm{▵ABD}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$の直角二等辺三角形であるとき，$\mathrm{▵ABD}$の面積を求めなさい．

【２】　点$\mathrm{P}$$(u,v)$が連立不等式$u\geqq 1\text{，}$$v\geqq 1\text{，}$$uv\leqq {10}^5\text{，}$$u^2{v}^3\leqq {10}^{12}$の表す領域$D$内を動くとき，次の問いに答えなさい．ただし，(1)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　$a={\log }_{10}3\text{，}$$b={\log }_{10}2$とする．$u=3\text{，}$$v=2$のとき${\log }_{10}(u^5{v}^6)$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(2)　$x={\log }_{10}u\text{，}$$y={\log }_{10}v$とおく．点$\mathrm{P}$$(u,v)$が領域$D$内を動くとき，点$\mathrm{<mspace\; width=".5em"></mspace>Q}$$(x,y)$が動く領域を座標平面内に図示しなさい．

(3)　$u^5{v}^6$の最大値を求めなさい．

【３】　$a$を定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)\text{，}$$g(x)$に対し

$C={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)g(a-x)\mathit{dx}$

と定めたとき，次の$f(x)\text{，}$$g(x)$について$C$をそれぞれ$a$を用いて表しなさい．

(1)　$f(x)=x\text{，}$$g(x)=x^2$

(2)　$f(x)=\sin \pi x\text{，}$$g(x)=x$

(3)　$f(x)=x\text{，}$$g(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ 0& \text{（}x<0\text{）}\end{array}$

【４】　動点$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$が立方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$の辺上を独立に動く．時刻$t=0$のとき$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$はともに点$\mathrm{O}$にある．その後，各動点は時刻が$1$進むごとに，$x$の確率で元の頂点にあるか，もしくは隣にある$3$つの頂点のいずれかにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}(1-x)$の確率で移動している．ただし，ある頂点の隣にある頂点とは，辺の両端の頂点のうち他方の頂点のことである．また，$0\leqq x\leqq 1$とする．

　例えば，時刻$t$のとき動点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{E}$にある場合，時刻$t+1$において$\mathrm{R}$は$x$の確率で点$\mathrm{E}$にあるか，もしくはそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}(1-x)$の確率で点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{F}$のいずれかにある．動点$\mathrm{S}$についても同様である．

　次の問いに答えなさい．(1)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(ⅰ)　時刻$t=2$のとき，$\mathrm{R}$が点$\mathrm{O}$にある確率を求めなさい．

(ⅱ)　時刻$t=3$のとき，$\mathrm{R}$が点$\mathrm{A}$にある確率を求めなさい．

(ⅲ)　時刻$t=3$において$\mathrm{R}$が点$\mathrm{A}$にあるとき，時刻$t=2$のときに$\mathrm{R}$が点$\mathrm{O}$にあった条件付き確率を求めなさい．

(2)　時刻$t=3$のとき，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が正三角形をなす確率を$p(x)$とする．

(ⅰ)　時刻$t=3$のとき，$\mathrm{R}$が点$\mathrm{B}$にある確率を$x$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$p(x)$を求めなさい．

(ⅲ)　$p(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めなさい．

【２】　$m$を$0$以上の整数とし，$k\text{，}$$r$を自然数とする．$k$の正の約数の個数を$D(k)$とおく．また，${\displaystyle \frac{k}{r^m}}$が整数となるような整数$m$のうち最大のものを$M_r(k)$とする．例えば，$60=2^2\times 3\times 5$なので$M_2(60)=2\text{，}$$M_3(60)=1$である．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，(1)，(2)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　$M_2(8!)$および$D(8!)$の値を求めなさい．

(2)　$M_2(30!)\text{，}$$M_3(30!)$および$M_{12}(30!)$の値を求めなさい．

(3)　$d=D(30!)$とおく．(2)で求めた$M_{12}(30!)$の値を$n$とするとき，${\displaystyle \sum _{i=1}^n}D\left({\displaystyle \frac{30!}{{12}^i}}\right)$を$d$を用いて表しなさい．

【３】　動点$\mathrm{R}$が正四面体$\mathrm{OABC}$の辺上を動く．動点$\mathrm{R}$は時刻$t=0$のとき点$\mathrm{O}$にあり，時刻が$1$進むごとに，他の$3$つの頂点のいずれかにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で移動しているか，${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で元の頂点にある．このとき，次の問いに答えなさい．(1)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)(ⅰ)　時刻$t=2$のとき，$\mathrm{R}$が点$\mathrm{O}$にある確率を求めなさい．

(ⅱ)　時刻$t=2$のとき，$\mathrm{R}$が点$\mathrm{A}$にある確率を求めなさい．

(ⅲ)　時刻$t=3$のとき，$\mathrm{R}$が点$\mathrm{A}$にある確率を求めなさい．

(ⅳ)　時刻$t=3$において$\mathrm{R}$が点$\mathrm{A}$にあるとき，時刻$t=2$のときに$\mathrm{R}$が点$\mathrm{O}$にあった条件付き確率を求めなさい．

(2)　$n$を自然数とする．時刻$t=n$のとき動点$\mathrm{R}$が$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の各頂点にある確率をそれぞれ$z_n\text{，}$$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$とする．

(ⅰ)　次の等式が成り立つことを数学的帰納法により証明しなさい．

$a_n=b_n=c_n$

(ⅱ)　$z_n$を$n$の式で表しなさい．

(ⅲ)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n$を求めなさい．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={(x-[x])}^2$$-(x-\left[x\right])+{\displaystyle \frac{1}{6}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

と定める．ただし，$\left[x\right]$は$x$を超えない最大の整数を表す．さらに，$n$を自然数とし，

$S(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f({\displaystyle \frac{k}{n}}+x)$ \text{（}x\geqq 0\text{）}$$

とする．次の問いに答えなさい．

(1)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$f(x+1)=f(x)$

(2)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$S(x+{\displaystyle \frac{1}{n}})=S(x)$

(3)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{n}}$のとき，方程式$S(x)=0$を解きなさい．

(4)　$x\geqq 0$のとき，方程式$S(x)=0$を解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，(1)，(2)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　$8!$の正の約数の個数を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，(1)，(2)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(2)　$17$で割ると$2$余り，$22$で割ると$4$余る自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，(1)，(2)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(3)　$a$を定数とし，$x$の$2$次不等式

$2x^2-(2a-3)x-3a<0$$\cdots \text{①}$

を考える．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$2$次不等式$\text{①}$の解を求めなさい．

(ⅱ)　$2$次不等式$\text{①}$を満たす整数$x$が$4$個だけ存在するとき，$a$の値の範囲を求めなさい．

【２】　$a$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，四角形$\mathrm{OACB}$を考える．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は曲線$y=x^2-6x+6$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たすとする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，(1)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい．

(1)　点$\mathrm{B}$の$x$座標を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$a=1$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めなさい．

(ⅱ)　四角形$\mathrm{OACB}$の面積を求めなさい．

(ⅲ)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-3x+5$の増減を調べ，極値を求めなさい．また，そのグラフの概形をかきなさい．

(2)　$a\geqq 0$とし，関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-3x+5$$\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$の最大値を$g(a)\text{，}$最小値を$h(a)$とする．

(ⅰ)　$g(a)$を求めなさい．

(ⅱ)　$h(a)$を求めなさい．

(ⅲ)　関数$y=g(x)$のグラフと関数$y=h(x)$のグラフおよび直線$x=4$で囲まれた部分の面積を求めなさい．