2024　広島大学　総合型選抜理学部数学科

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$4{\cos }^3\alpha +2{\cos }^2\alpha -3\cos \alpha -1=0$かつ$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす実数$\alpha$がただ一つ存在することを示せ．

(2)　(1)の実数$\alpha$に対し，$\cos 2\alpha +\cos 3\alpha$の値を求めよ．

(3)　(1)の実数$\alpha$の値を求めよ．

【２】　実数$a$は$a>1$を満たすとする．$\mathrm{O}$$(0,0)$を原点とする座標平面上の曲線

$C\text{：}y=-x^3+(a+1)x^2-ax$

を考える．点$\mathrm{O}$を通り正の傾きをもつ直線$l$は，点$\mathrm{P}$において曲線$C$と接するとする．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形のうち，不等式$y\geqq 0$の表す領域にある部分の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標と直線$l$の方程式を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．

(4)　(1)の$S_1$と(3)の$S_2$に対し，$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

【３】　複素数$\alpha$は$\left|\alpha \right|=1$を満たし，さらにその偏角$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．複素数平面上で$\alpha$が表す点を$\mathrm{A}$とし，$\bar{\alpha }$が表す点を$\mathrm{B}$とする．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役複素数を表す．$0$でない複素数$z$に対し，$w$を$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　点$z$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{w}}+{\displaystyle \frac{1}{\bar{w}}}$の値を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$z$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，点$w$の描く曲線を求めよ．

(3)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，線分$\mathrm{AB}$と(2)で求めた曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　関数$g(x)$を$g(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$により定め，関数$f(x)$を$f(x)=xg(x)$により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0$ならば$0<f(x)\leqq x$が成り立つことを示せ．

(2)　$g(x)$は閉区間$[0,1]$で単調に増加することを示せ．

(3)　$0<\alpha \leqq 1$とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=\alpha \text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．自然数$n$に対し，次の不等式を示せ．

$0<a_n\leqq \alpha {\{g(\alpha )\}}^{n-1}$

(4)　(3)の実数$\alpha$と数列$\{a_n\}$に対し，$\alpha$の値に応じて$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．$\stackrel{\text{こうた}}{\text{広大}}$さんは$n$枚の抽選補助券を持って商店街の福引きを行う．抽選補助券$2$枚で福引きを$1$回行うことができる．$1$回の福引きにつき，赤玉，青玉，緑玉，白玉が一つずつ入っている箱から玉を$1$個取り出す．赤玉が出たときには賞品$\mathrm{A}$を，青玉が出たときには賞品$\mathrm{B}$を，緑玉が出たときには賞品$\mathrm{C}$をもらえる．一方，白玉が出たときには賞品ではなく抽選補助券$1$枚をもらえるが，次の福引きを行うためにその抽選補助券を使うことができる．取り出した玉は福引きが終わるたびに箱に戻す．広大さんは持っている抽選補助券が$0$枚または$1$枚になるまで福引きを繰り返す．このとき，「広大さんが賞品$\mathrm{A}\text{，}$賞品$\mathrm{B}\text{，}$賞品$\mathrm{C}$をすべて$1$個以上もらえる」という事象が起こる確率を$p_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p_6$を求めよ．

(2)　$p_7$を求めよ．

(3)　$p_8$を求めよ．