2024　広島大学　前期

【１】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$5$人が，それぞれゲーム$\alpha$とゲーム$\beta$の$2$種類のゲームを行った．ゲーム$\alpha$の得点を$x\text{，}$ゲーム$\beta$の得点を$y$で表す．右の表はそれぞれのゲームにおける得点である．ただし，$a\text{，}$$b$は整数である．なお，得点が負になることもあり得る．

　ゲーム$\alpha$の得点の平均値は$7$であるとし，ゲーム$\beta$の得点$y$の平均値を$m$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$p\text{，}$$q$は実数で，$p\ne 0$とする．ゲーム$\beta$の得点$y$を$z=py+q$により変換し，新たな変量$z$を作成する．$z$の分散を$s_z^2\text{，}$二つの変量$x\text{，}$$z$の共分散を$s_{xz}$とする．このとき，$s_z^2$と$s_{xz}$を$p\text{，}$$q\text{，}$$m$のうちの必要なものを用いて表せ．ただし，変量$x$と$z$との共分散は$x$の偏差と$z$の偏差の積の平均値である．

(3)　変量$x$と(2)で作った変量の相関係数が${\displaystyle \frac{3}{4}}$であるとき，$m$と$b$の値を求めよ．また，$p$が正であるか負であるかを答えよ．

【２】　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,2,-1)$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{M}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{M}$を(2)で定めた点とする．点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{CM}$上の点であって

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|$

となるものとする．ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{C}$とは異なる点である．このとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(4)　点$\mathrm{D}$を(3)で定めた点とする．三角形$\mathrm{CAD}$の面積$S$を求めよ．

【３】　$x$座標，$y$座標がともに整数である座標平面上の点を格子点と呼ぶことにする．座標平面上の$3$点を頂点にもつ三角形上の格子点とは，頂点，辺または内部に含まれている格子点のことをいう．四角形に対しても同様に四角形上の格子点を定めるものとする．

　$\mathrm{O}$$(0,0)$を座標平面上の原点とする．$a$と$b$を互いに素な自然数，$n$を自然数として，座標平面上の点${\mathrm{P}}_n$$(an,0)\text{，}$${\mathrm{Q}}_n$$(0,bn)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　直線${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$上の格子点$(x,y)$で$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$を満たすものは

$(ak,b(n-k))$$\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

のみであることを示せ．

(2)　${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{Q}}_1$をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と表す．点$\mathrm{R}$$(a,b)$に対し，長方形$\mathrm{OPRQ}$上の格子点の個数を$a$と$b$を用いて表せ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$上の格子点の個数を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$上の格子点の個数を$a\text{，}$$b\text{，}$$n$を用いて表せ．

(4)　座標空間内の原点$\mathrm{O}$$(0,0,0)$と$3$点$\mathrm{X}$$(an,0,0)\text{，}$$\mathrm{Y}$$(0,bn,0)\text{，}$$\mathrm{Z}$$(0,0,n)$をとる．点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$を$4$頂点とする四面体$\mathrm{OXYZ}$上の格子点の個数を$a\text{，}$$b\text{，}$$n$を用いて表せ．ただし，$x$座標，$y$座標，$z$座標のすべてが整数である座標空間内の点を格子点と呼ぶことにする．また，四面体上の格子点とは，頂点，辺，面または内部に含まれている格子点のことをいう．

【４】　複素数平面において，点$1$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\alpha$が円$C$と虚軸との交点であるとき，$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$を求めよ．

(2)　円$C$上の点$z$に対し，点$-{\displaystyle \frac{1}{z}}$も円$C$上にあることを示せ．

(3)　円$C$上の点$z$に対し，$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$とする．複素数$w\text{，}$$z$は

$|w-2|={\displaystyle \frac{2}{\left|z\right|}}$

を満たすことを示せ．

(4)　円$C$上の点$z$に対し，(3)で定めた複素数$w$は

$|w-2||w+2|=4$

を満たすことを示せ．

【５】　関数$f(x)=\log (x+\sqrt{1+x^2})$に対し，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$は$x>0$で上に凸であることを示せ．

(2)　すべての$x\geqq 0$に対し，不等式${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\leqq f(x)\leqq x$が成り立つことを示せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{4}}}f(x)\mathit{dx}$の値$S$を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$上の点で，$x$座標が${\displaystyle \frac{3}{4}}$であるものを$\mathrm{A}$とする．また，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．$l$と直線$y=x$の交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$$({\displaystyle \frac{3}{4}},0)$を頂点にもつ四角形$\mathrm{ABOC}$の面積$T$を求めよ．

(5)　(1)〜(4)を利用して，$\log 2$の小数第$1$位の数字を求めよ．

【２】　実数$t$および$0<a<b$を満たす実数$a\text{，}$$b$に対し，

$f(t)={\displaystyle {\int }_a^b}(x-at)(x-bt)\mathit{dx}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$14f(1)+f(0)=0$が成り立つとする．このとき，${\displaystyle \frac{b}{a}}$の値を求めよ．

(3)　$14f(1)+f(0)=0$が成り立つとする．$t$の関数$y=f(t)-f(0)$の最小値が$-6$となるとき，$a$の値を求めよ．

【４】　$a$と$r$を正の実数とする．座標平面上の放物線$y=x^2$と，中心$(0,a)\text{，}$半径$r$の円$C$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$a=r$とする．このとき，放物線$y=x^2$と円$C$との共有点が一つのみになるような$r$の値の範囲を求めよ．

(2)　円$C$が不等式$y>0$の表す領域に含まれるための必要十分条件を$a$と$r$を用いて表せ．

(3)　$a$と$r$は(2)で求めた条件を満たすとする．このとき，放物線$y=x^2$と円$C$との共有点がちょうど二つになるような$(r,a)$の範囲を$ra$平面に図示せよ．

(4)　正の実数$s$に対し，中心$(0,a+r+s)\text{，}$半径$s$の円を$C^{\prime }$とする．円$C$と円$C^{\prime }$は次の条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たすとする．

(ⅰ)　円$C$は不等式$y>0$の表す領域に含まれ，さらに放物線$y=x^2$と円$C$との共有点はちょうど二つである．

(ⅱ)　放物線$y=x^2$と円$C^{\prime }$との共有点はちょうど二つである．

　このとき，$s$を$r$を用いて表せ．