2024　岡山大学　前期

【１】　$m\text{，}$$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x^{3m}-1$は$x^3-1$で割り切れることを示せ．

(2)　$x^n-1$を$x^2+x+1$で割った余りを求めよ．

(3)　$x^{2024}-1$を$x^2-x+1$で割った余りを求めよ．

【２】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，$1$枚のコインを$1$回投げるごとに，表が出たら数直線上を正の向きに$1$だけ進み，裏が出たら数直線上を負の向きに$1$だけ進むものとする．コインの表が出る確率と裏が出る確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとし，コインを$n$回投げ終えた時点での点$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とする．コインを$10$回投げるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x_{10}=0$となる確率を求めよ．

(2)　$x_5\ne 1$かつ$x_{10}=0$となる確率を求めよ．

(3)　$0\leqq x_n\leqq 3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$9\text{）}$かつ$x_{10}=0$となる確率を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とし，$\mathrm{\angle COA}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle COB}=\beta \text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\gamma$とする．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．辺$\mathrm{OA}$の延長上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$が垂直になるようにとり，辺$\mathrm{OB}$の延長上に点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$が垂直になるようにとる．$\mathrm{\angle DCE}=\theta$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\cos \alpha$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\cos \beta$を用いて表せ．

(2)　$\cos \theta$を$\sin \alpha \text{，}$$\cos \alpha \text{，}$$\sin \beta \text{，}$$\cos \beta \text{，}$$\cos \gamma$を用いて表せ．

(3)　$\cos \gamma =\cos \alpha \cos \beta \text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha$とする．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{DOE}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}={\displaystyle \frac{1}{\tan \gamma }}$となることを示せ．

【４】　座標平面上で，線分$S\text{：}x+y=1$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と曲線$C\text{：}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で囲まれた図形$D$を考える．$S$上に点$(0,1)$からの距離が$t$となる点$\mathrm{P}$をとる．このとき，$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$である．また，点$\mathrm{P}$を通り，直線$x+y=1$と垂直に交わる直線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　直線$l$と曲線$C$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．

(3)　図形$D$を直線$x+y=1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【２】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，$1$枚のコインを$1$回投げるごとに，表が出たら数直線上を正の向きに$1$だけ進み，裏が出たら数直線上を負の向きに$1$だけ進むものとする．コインの表が出る確率と裏が出る確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとし，コインを$n$回投げ終えた時点での点$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とする．コインを$10$回投げるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x_{10}=0$となる確率を求めよ．

(2)　$x_5\ne 1$かつ$x_{10}=0$となる確率を求めよ．

(3)　$0\leqq x_n\leqq 2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$9\text{）}$かつ$x_{10}=0$となる確率を求めよ．

【３】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$を考え，その重心を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　等式$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$が成り立つことを示せ．

(2)　平面上の任意の点$\mathrm{P}$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

${\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|}^2$$=3{\left|\overrightarrow{\mathrm{PG}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{GA}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{GB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right|}^2$

(3)　次の等式が成り立つことを示せ．

${\left|\overrightarrow{\mathrm{GA}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{GB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right|}^2$$={\displaystyle \frac{{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|}^2}{3}}$

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$R^2\geqq {\displaystyle \frac{{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|}^2}{9}}$

【４】　座標平面において，放物線$y=-x^2+1$を$C\text{，}$原点を中心とする半径$r$の円を$D$とする．ただし，$r>0$とする．放物線$C$と円$D$は共有点をもたないとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$r$の値の範囲を求めよ．

(2)　$0<\theta <\pi$のとき，円$D$上の点$(r\cos \theta ,r\sin \theta )$における$D$の接線を$l$とする．接線$l$と放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．ただし，$S$は$r$と$\sin \theta$を用いて表すこと．