2024　島根大学　前期

(1)　方程式$9^x-3^x=1$を解け．

(2)　方程式${25}^x-{15}^x=9^x$を解け．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}-2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$0$のときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}-2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi$のときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を求めよ．

(2)　$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$のとる最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とするとき，$M$と$m$の値を求めよ．

$f(x)=(-x^2+2)\sin x$$-2x\cos x$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$

$g(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$

と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$を用いてよい．

(1)　$f(x)=0$をみたす$x$はただ$1$つであることを示せ．

(2)　$f(x)=0$をみたす$x$の値を$\alpha$とする．関数$y=g(x)$の増減，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\alpha$と$g(\alpha )$の値を求める必要はない．

(3)　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対し，

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}-t}^{\frac{\pi }{2}}}g(x)\mathit{dx}>{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}+t}}9(x)\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(1)　${(x+1)}^5$を展開せよ．

(2)　$p$を素数，$k$を$0<k<p$をみたす自然数とするとき，${}_{p}C_k$は$p$の倍数であることを示せ．ただし，${}_{p}C_k$は$p$個から$k$個取る組合せの総数とする．

(3)　$p$を素数，$n$を自然数とするとき，$n^p-n$は$p$の倍数であることを，数学的帰納法によって証明せよ．

赤$1\text{，}$白$3\text{，}$白$2\text{，}$赤$5\text{，}$赤$3$

のときはペアが$1$組できた（白$3$と赤$3$がペアをなす）といい，

赤$1\text{，}$白$3\text{，}$白$1\text{，}$赤$5\text{，}$赤$3$

のときはペアが$2$組できた（赤$1$と白$1\text{，}$および白$3$と赤$3$がそれぞれペアをなす）という．次の問いに答えよ．

(1)　取り出した玉の番号がすべて異なる確率を求めよ．

(2)　取り出した玉の中にペアが$1$組だけできる確率を求めよ．

(3)　取り出した玉の中にペアが$2$組できる確率を求めよ．

(1)　$f(1)=5\text{，}$$f(2)=18\text{，}$$f^{\prime }(-1)=5$をみたす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　$a<0$とするとき，次の$3$つの条件

・$f^{\prime }(0)=0\text{，}$

・$f(-1)=0\text{，}$

・$2$直線$y=0\text{，}$$x=0$と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積が$3$

をみたす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(3)　$a=1$とするとき，次の$2$つの条件

・区間$[0,1]$における$f(x)$の最大値が$1\text{，}$

・区間$[0,1]$において，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき$f(x)$が最小値をとる

をみたす$b\text{，}$$c$の値を求めよ．