2024　鳥取大学　前期

$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2=1$

球面$S$上の点$\mathrm{N}$$(0,0,1)$と$xy$平面上の点$\mathrm{P}$$(s,t,0)$を結ぶ直線が球面$S$と交わる点で，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{Q}$$(x,y,z)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　実数$k$を$\overrightarrow{\mathrm{NQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{NP}}$により定めるとき，点$\mathrm{Q}$の座標$(x,y,z)$を$k\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標$(x,y,z)$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$xy$平面上の直線$x=y\text{，}$$z=0$を動くものとする．(2)で求めた点$\mathrm{Q}$の$x$座標を，点$\mathrm{P}$の$x$座標$s$の関数とみなして$f(s)$とおく．$f(s)$の最大値および最小値を求めよ．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1$を求めよ．

(2)　$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対し，$a_{n+1}$を$b_n\text{，}$$c_n$で表せ．

(3)　$n$秒後にこの物体が点$\mathrm{A}$に位置する確率$a_n$を求めよ．

(1)　接線$l$の方程式，および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$およぴ線分$\mathrm{OP}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$およぴ線分$\mathrm{OP}$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに一回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

(1)　$3{\lceil x\rceil }^2-38\lceil x\rceil +55<0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$4{\lceil x+{\displaystyle \frac{4}{3}}\rceil }^2-52\lceil x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\rceil +113<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．

(3)　$\lceil x^2\rceil =2x$を満たす$x$の値を求めよ．

$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2=1$

球面$S$上の点$\mathrm{N}$$(0,0,1)$と$xy$平面上の点$\mathrm{P}$$(s,t,0)$を結ぶ直線が球面$S$と交わる点で，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{Q}$$(x,y,z)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標$(x,y,z)$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$xy$平面上の放物線$y=x^2\text{，}$$z=0$を動くものとする．(1)で求めた点$\mathrm{Q}$の$y$座標を，点$\mathrm{P}$の$y$座標$t$の関数とみなして$f(t)$とおく．$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．

(1)　$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対し，$a_{n+1}$を$b_n\text{，}$$c_n$で表せ．

(2)　$n$秒後にこの物体が点$\mathrm{A}$に位置する確率$a_n$を求めよ．

(3)　この物体の位置しうる点が，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含めて合計$m$個$\text{（}m>3\text{）}$の異なる点に増えたとする．時刻$0$において物体は点$\mathrm{A}$に位置し，$1$秒ごとに今いる点以外の他の点に，等しい確率で移動するとき，$n$秒後にこの物体が点$\mathrm{A}$に位置する確率を求めよ．

(1)　$3{\lceil x\rceil }^2-38\lceil x\rceil +55<0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$4{\lceil x+{\displaystyle \frac{4}{3}}\rceil }^2-52\lceil x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\rceil +113<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．

$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2=1$

球面$S$上の点$\mathrm{N}$$(0,0,1)$と$xy$平面上の点$\mathrm{P}$$(s,t,0)$を結ぶ直線が球面$S$と交わる点で，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{Q}$$(x,y,z)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　実数$k$を$\overrightarrow{\mathrm{NQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{NP}}$により定めるとき，点$\mathrm{Q}$の座標$(x,y,z)$を$k\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標$(x,y,z)$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．