2024　和歌山大学　後期工学部MathJax

$[a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0]={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{3}^k{a}_k$

である．このとき，以下の設問(1)から(6)に答えなさい．

(1)　$[1,-1,0,1]$の値を求めなさい．

(2)　$25$を$[a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0]$の形の表記で表しなさい．表記が複数ある場合は$1$通りでよい．

(3)　$[a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0]$が正のとき，各$n$に対して，この表記のとり得る値の最大値と最小値を$n$を用いて表しなさい．

(4)　$A=[a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0]$とする．$a_k\ne 0$である$k$が$t$個あるとき，$t$が偶数であることは，$A$が偶数であることの必要十分条件であることを示しなさい．

(5)　$m$は$0$以上の整数で，$b_k$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$m\text{）}$は$-1$または$0$または$1$の値をとるものとし，$b_m\ne 0$とする．${\displaystyle \sum _{k=0}^m}{3}^k{b}_k$を$[b_m,b_{m-1},\cdots ,b_1,b_0]$と表記 する．このとき，$[a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0]$$=[b_m,b_{m-1},\cdots ,b_1,b_0]>0$ならば，$m=n$であることを示しなさい．

(6)　設問(5)において，$[a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0]$$=[b_n,b_{n-1},\cdots ,b_1,b_0]$となる．さらにこのとき，$a_k=b_k$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$であることを示しなさい．