2024　奈良教育大学　前期MathJax

(1)　$1\leqq r\leqq n$を満たす自然数$r$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

${}_{n+1}C_r={}_{n}C_r+{}_{n}C_{r-1}$

(2)　すべての自然数$n$に対して，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

${(a+b)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n}{}_{n}C_r{a}^{n-r}{b}^r$

(1)　いずれかの数字が書かれたカードが$0$枚になる確率を求めよ．

(2)　$1$の数字が書かれたカードがちょうど$2$枚になる確率を求めよ．

(1)　$k$が正の整数であるとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_k^{k+1}}{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathit{dx}<{\displaystyle \frac{1}{k}}$

(2)　$n$が正の整数であるとき，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，対数は自然対数とする．

$\log (n+1)<1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$

(3)　$n$が$2$以上の整数であるとき，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，対数は自然対数とする．

$1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$$<1+\log n$