2024　神戸大学　志入試最終選抜工学部

【１】　次の問１から問３に答えよ．

問1．$a$は実数，$n$は$0$以上の整数，$\{a_k\}$は数列とする．関数$f(x)$が

$f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{a}_k{(x-a)}^k$(＊)

のように表されるとき，$f^{(k)}(a)\text{，}$$0\leqq k\leqq n$を求めよ．ただし$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数を表す．

問2．等式$x+x^5+x^{10}={\displaystyle \sum _{k=0}^{10}}{a}_k{(x-1)}^k$が成り立つとき，$a_5$を求めよ．

問3．$f(x)=e^x$に対し，式(＊)を満たす数列$\{a_k\}$は存在しない．しかし，$n=\infty$を許せば，$a=0\text{，}$$a_k={\displaystyle \frac{1}{k!}}\text{，}$$k\geqq 0$としたとき，任意の実数$x$に対して

$e^x={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$(＊＊)

が成り立つことが知られ，式(＊＊)の右辺は$e^x$の原点を中心とするテイラー展開と呼ばれる．ただし$0!=1$および$0^0=1$とする．以下の手順に従い，式(＊＊)を証明せよ．

(1)　$0$でない実数$r$と自然数$n$に対し，関数$F(x)$と$G(x)$を次のように定める．

$F(x)=e^r-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{e^x}{k!}}{(r-x)}^k\text{，}$$G(x)={(r-x)}^n\text{．}$

このとき，コーシーの平均値定理（後述）を利用して，$0$と$r$の間のある数$c$が存在し，次の等式が成り立つことを示せ．

$e^r-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{r^k}{k!}}={\displaystyle \frac{e^c}{n!}}{r}^n\text{．}$

(2)　任意の固定された実数$r$に対し，

$\underset{n\to \infty }{\lim }|e^r-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{r^k}{k!}}|=0$

が成り立つことを示せ．

コーシーの平均値定理：実数$r_1<r_2$に対し，関数$F(x)$と$G(x)$は区間$[r_1,r_2]$において連続であり，区間$(r_1,r_2)$において微分可能とする．また，$G(r_1)\ne G(r_2)$であり，$F^{\prime }(x)$と$G^{\prime }(x)$は同時に$0$にならないとする．このとき，ある数$c$$\text{（}{r}_1<c<r_2\text{）}$が存在し，

${\displaystyle \frac{F(r_2)-F(r_1)}{G(r_2)-G(r_1)}}={\displaystyle \frac{F^{\prime }(c)}{G^{\prime }(c)}}$

が成り立つ．

図３-１：都市・道路マップ

【３】　右の図３-１は，都市を丸で，またその間の道路を線で表した都市・道路マップを表している．丸の中の文字は都市名であり，線に付した数字はその線が表す道路の長さを表している．道路はどちらの向きにも進むことができ，その向きによらず長さは同じであるとする．なお，道路の長さは$0$以上であることに注意する．

　図３-１のような都市・道路マップに対して，ある始点となる都市から他のすべての都市への最短経路を，その長さが短い順に一つずつ求める手続きを考える．

　ここで，始点となる都市を始点都市，そこからの最短経路が求まった都市を確定都市，そうでない都市を未確定都市と呼ぶことにする．また，都市が道路で直接繋がっていることを隣接すると呼ぶことにする．都市$x$と隣接する都市$y$との間の道路の長さを$d(x,y)$で表す．手続きの途中において，始点都市から都市$x$に至る今のところ最も短いことがわかっている経路の長さ（経路長：経路上の道路の長さの総和）を$D(x)\text{，}$その経路上で都市$x$に至る一つ手前の都市を$p(x)$で表す．また，未確定都市の集合を$N$で表す．

　手続きの初期状態では，すべての都市が未確定都市であると考え，$N$の要素とする．都市$x$が始点都市である場合は$D(x)=0$とおく．また，始点都市ではない場合は$D(x)=\infty \text{，}$$p(x)=\text{未定}$とおく．

　この初期状態から始め，以下の(1)から(3)を繰り返すことで，各都市までの最短経路を，その長さが短い順に一つずつ決定できる．なお，(1)から(3)まで（手続きが終了する場合は(2)まで）をステップと呼ぶことにする．

(1)　$N$の要素のうち，そこに至る経路長が現時点で最も短い都市を$w$とする．（そのような都市が複数ある場合はそのうちの任意の一つを$w$とする．）すなわち，$N$に属するすべての都市$u$に対して$D(w)\leqq D(u)$である．このとき，$D(w)$は都市$w$への最短経路長となる．

(2)　都市$w$を確定都市として$N$から除く．$N=\varphi$（空集合）となった場合は手続きを終了する．

(3)　$N$に属し，都市$w$に隣接する各都市$v$に対して，$D(v)$と$D(w)+d(w,v)$を比較し，後者の方が小さい場合はこれを新たな$D(v)$とし，$p(v)=w$とする．その後(1)に戻る．

　図３-２は，$4$都市からなる都市・道路マップに対する初期状態と各ステップ終了時の状態を表しており，順に最短経路を確定していくようすを示したものである．手続き終了後，始点都市からある都市$x$に至る一つ手前の都市は$p(x)$である．これを順にさかのぼることで，都市$x$から始点都市に至る最短経路が求まり，逆にこれが始点都市から都市$x$に至る最短経路となる．例えば，ステップ４終了後の都市$\mathrm{W}$に着目すると，$p(\mathrm{W})=\mathrm{Y}\text{，}$$p(\mathrm{Y})=\mathrm{X}\text{，}$$p(\mathrm{X})=\mathrm{V}$であるから，始点都市$\mathrm{V}$から$\mathrm{W}$までの最短経路は$\mathrm{V}\to \mathrm{X}$$\to \mathrm{Y}$$\to \mathrm{W}$となる．

図３-２：最短経路決定手続きの例

　次の問1．から問3．に答えよ．

問1．上述の手続きに従い，図３-１において，始点都市を都市$\mathrm{A}$として，その他のすべての都市までの最短経路とその経路長を求めよ．加えて，図３-２にならい，ステップ３終了時の状態も示せ．

問2．手続きの(1)において下線部が成り立つのはなぜかを説明せよ．

問3．その他のすべての都市にではなく，始点都市からある一つの都市に至る，できるだけ長さが短い経路を求めたい．ただし，必ずしも最短経路でなくてもよい．図３-１に比べて都市が多い大規模な都市・道路マップにおいて，問1．，問2．で考えた手続きをそのまま適用する場合に想定される問題を述べよ．また，その問題を解決する方法について述べよ．なお，各都市の位置（緯度，経度）も既知であるとしてよい．