2024　神戸大学　志入試文系1次総合問題

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

について次の問いに答えよ．

問１　$2$次式$a{x}^2+bx+c$を平方完成し，$y=f(x)$のグラフの頂点の座標を求めよ．

問２　$a\text{，}$$c$が定数で，$b$の値だけが変化するとき，$y=f(x)$のグラフの頂点の軌跡を求めよ．

問３　(2)で求めた軌跡を$y=g(x)$とする．$a\text{，}$$b\text{，}$$c$$\text{（}b\ne 0\text{）}$を定数として，$y=f(x)$と$y=g(x)$が囲む部分の面積を求めよ．

$f(x)=a\sin \{b(x-c)\}+d$

について次の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$は，$y=\sin x$のグラフをどのように拡大した後，どのように平行移動したグラフか説明せよ．

問２　$y=f(x)$の隣接する極値が次の値のとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．ただし，$c$は最も絶対値の小さい値で答えよ．

$\text{①}$　極大値$f(6)=120$

$\text{②}$　極小値$f(14)\mathrm{=}40$

　例えば，すべて同香なら，すべて異香ならと解答する．香りの種類は問わないので，すべて同香の場合もすべて異香の場合もそれぞれ$1$つの解答になり，$1$通りとみなす．また，$1$回目と$3$回目が同香，$2$回目と$4$回目が$1$回目$3$回目とは別の香りで同香，$5$回目は$1\text{〜}$$4$回目とは異香だった場合は，またはと表せるが，これらは同じ$1$つの解答とみなす．

問１　$5$回のうち$4$回が同香で$1$回が異香になる解答は全部で何通りあるか．

問２　$5$回のうち$3$回が同香で$2$回が別の香りで同香になる解答は全部で何通りあるか．

問３　$5$回のうち$2$回が同香，他の$2$回が別の香りで同香，あと$1$回がさらに別の香りになる解答は全部で何通りあるか．