2024　神戸大学　後期

$f(t)=\underset{n\to \infty }{\lim }2\sin \left({\displaystyle \frac{t}{2n}}\right){\displaystyle \sum _{k=1}^n}|\cos ({\displaystyle \frac{kt}{n}}\left)\right|$

とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$f(t)={\displaystyle {\int }_0^t}|\cos x|\mathit{dx}$であることを示せ．

(2)　$f(t)=1000$を満たす$t$は$1$つだけ存在する．その$t$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$は，任意の自然数$n$について$n\pi \leqq a_n\leqq n\pi +2$を満たしているとする．このとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(a_n)}{n}}$を求めよ．

$q_1(x)=0\text{，}$$r_1(x)=x\text{，}$

$q_2(x)=1\text{，}$$r_2(x)=3x-2\text{，}$

$q_3(x)=x+3\text{，}$$r_3(x)=7x-6$

である．以下の問に答えよ．

(1)　$r_n(x)$を$n$と$x$の式で表せ．

(2)　$q_{n+1}(x)=x{q}_n(x)+2^n-1$であることを示せ．

(3)　各項が整数である数列$\{c_n\}$を，$c_n=q_n(4)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．$c_{n+3}-c_n$が$7$の倍数であることを示せ．また，$c_{2024}$を$7$で割った余りを求めよ．

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$(x_3,y_3)\text{，}$$(x_4,y_4)\text{，}$$(x_5,y_5)$

を考える．変量$x$の$5$個のデータの値は常に

$x_1=-2\text{，}$$x_2=-1\text{，}$$x_3=0\text{，}$$x_4=1\text{，}$$x_5=2$

であるとする．また，変量$y$の$5$個のデータの値は次のようであるとする．

・$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$y_4\text{，}$$y_5$の値は$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$のいずれかである．

・$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$y_4\text{，}$$y_5$の値はすべて異なる．

変量$x$と$y$の相関係数を$r$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$x$の標準偏差$s_x$と$y$の標準偏差$s_y$をそれぞれ求めよ．

(2)　$r=0$のとき，$y_4-y_2$は$2$の倍数であることを示せ．

(3)　$r=0$かつ$y_4>y_2$となるような，$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$y_4\text{，}$$y_5$の組の個数を求めよ．

(4)　$r\geqq {\displaystyle \frac{5}{6}}$となるような，$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$y_4\text{，}$$y_5$の組の個数を求めよ．