2024　神戸大学　前期

$y=x+\sqrt{c-x^2}$$\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{c}\text{）}$

が最大値をとるときの$x$の値とする．$a_{n+1}$は関数

$y=x+\sqrt{a_n-x^2}$$\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{a_n}\text{）}$

が最大値をとるときの$x$の値とする．数列$\{b_n\}$を$b_n={\log }_2{a}_n$で定める．以下の問に答えよ．

(1)　$a_1$を$c$を用いて表せ．

(2)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を$n$と$c$を用いて表せ．

$C\text{：}y=a{x}^2+bx+c$

$l_1\text{：}y=-3x+3$

$l_2\text{：}y=x+3$

で定める．$l_1\text{，}$$l_2$がともに$C$に接するとき，以下の問に答えよ．

(1)　$b$を求めよ．また$c$を$a$を用いて表せ．

(2)　$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるとき，${\displaystyle \frac{1}{a}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$C$と$l_1$の接点を$\mathrm{P}\text{，}$$C$と$l_2$の接点を$\mathrm{Q}\text{，}$放物線$C$の頂点を$\mathrm{R}$とする．$a$が(2)の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{▵PQR}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

(1)　$1$個のサイコロを投げて出た目が必ず$n$の約数となるような$n$を小さい順に$3$つ求めよ．

(2)　$1$個のサイコロを投げて出た目が$n$の約数となる確率が${\displaystyle \frac{5}{6}}$であるような$n$を小さい順に$3$つ求めよ．

(3)　$1$個のサイコロを$3$回投げて出た目の積が$160$の約数となる確率を求めよ．

$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,0,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,-1,0)\text{，}$

$\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{F}(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{G}(-1,0,1)\text{，}$$\mathrm{H}(0,-1,1)$

になるように$xyz$空間内におく．以下の問に答えよ．

(1)　直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$を直線$\mathrm{AE}$のまわりに$1$回転してできる回転体を$X_1$とし，また直線$\mathrm{AB}$のまわりに$1$回転してできる回転体を$X_2$とする．$X_1$の体積$V_1$と$X_2$の体積$V_2$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$とする．平面$x=t$と線分$\mathrm{EF}$の共有点の座標を求めよ．

(3)　直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を$X_3$とする．$X_3$の体積$V_3$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}\mathit{du}$

と定める．以下の問に答えよ．

(1)　$0\leqq \alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$\alpha$に対して，$f(\tan \alpha )$を求めよ．

(2)　$xy$平面上で，次の連立不等式の表す領域を図示せよ．

$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$0\leqq y\leqq 1\text{，}$$f(x)+f(y)\leqq f(1)$

またその領域の面積を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-10x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

が最小値をとるときの$x$の値とする．$a_{n+1}$は関数

$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-10a_{n}x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

が最小値をとるときの$x$の値とする．数列$\{b_n\}$を$b_n={\log }_{10}{a}_n$で定める．以下の問に答えよ．

(1)　$a_1$と$b_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　${\displaystyle \frac{a_1{a}_2{a}_3}{100}}$の値を求めよ．

(1)　$1$個のサイコロを投げて出た目が必ず$n$の約数となるような$n$で最小のものを求めよ．

(2)　$1$個のサイコロを投げて出た目が$n$の約数となる確率が${\displaystyle \frac{5}{6}}$であるような$n$で最小のものを求めよ．

(3)　$1$個のサイコロを$3$回投げて出た目の積が$20$の約数となる確率を求めよ．