2024　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$6$を$4$つの正の整数の和で表す方法は何通りあるか．ただし，$1+1+1+3$と$1+3+1+1$のように順序が異なるものは区別する．

(2)　正の整数$n$を$4$つの正の整数の和で表す方法は何通りあるか．$n$を用いた式で表せ．ただし，$n\geqq 4$とする．

(3)　正の整数$n$を$k$個の正の整数の和で表す方法を$a(k)$通りとする．$a(k)$を$n$と$k$を用いた式で表せ．ただし，$2\leqq k\leqq n$とする．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=2}^n}a(k)$を$n$を用いた式で表せ．ただし，$n\geqq 2$とする．

【２】　異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})\text{，}$$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$の各辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }(\overrightarrow{a^{\prime }})\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }(\overrightarrow{b^{\prime }})\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }(\overrightarrow{c^{\prime }})$とする．次に$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の各辺${\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$を$n:m$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{″}(\overrightarrow{a^{″}})\text{，}$${\mathrm{B}}^{″}(\overrightarrow{b^{″}})\text{，}$${\mathrm{C}}^{″}(\overrightarrow{c^{″}})$とする．ただし，$2$つの図形の対応する頂点を結ぶ直線が$1$点で交わり，その点から対応する点までの距離の比がすべて等しいとき，$2$つの図形は相似になる．このような位置にある$2$つの図形を相似の位置にあるという．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a^{\prime }}\text{，}$$\overrightarrow{b^{\prime }}\text{，}$$\overrightarrow{c^{\prime }}$を$m\text{，}$$n\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の重心と$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}$の重心が一致することを示せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}$が相似の位置にあることを示せ．

【３】　媒介変数$\theta$を用いて表された曲線

$x=2\sqrt{2}\cos \theta \text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$x$の値の範囲を求め，$y$を$x$の式で表せ．

(2)　(1)で得られた関数$y$の増減・凹凸を調べ，曲線の概形を描け．

(3)　$x$軸と曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　曲線の長さを求めよ．