2024　大阪大学　前期

【１】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{nx}+\cos {\displaystyle \frac{x}{3}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

で定める．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　方程式$f_n(x)=0$は，ただ$1$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　(1)における実数解を$a_n$とおくとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$を求めよ．

【２】　$\alpha \text{，}$$\beta$を複素数とし，複素数$z$に対して

$f(z)=z^2+\alpha z+\beta$

とおく．$\alpha \text{，}$$\beta$は

$|f(1)-3|\leqq 1$かつ$|f(i)-1|\leqq 3$

を満たしながら動く．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$f(1+i)$がとりうる値の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．

(2)　$f(1+i)=0$であるとき，$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

【３】　空間内の$2$直線$l\text{，}$$m$はねじれの位置にあるとする．$l$と$m$の両方に直交する直線がただ$1$つ存在することを示せ．

【４】　$a>1$とする．$xy$平面において，点$(a,0)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．

(1)　円$C$の$x\geqq a$の部分と$y$軸および$2$直線$y=1\text{，}$$y=-1$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V_1$を求めよ．

(2)　円$C$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．(1)における$V_1$について，$V_1=2V_2$となる $a$の値を求めよ．

【５】　自然数$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$n$のうち，$n$と互いに素であるものの個数を$f(n)$とする．

(1)　自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$および相異なる素数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$に対して，等式

$f(p^a{q}^b{r}^c)=p^{a-1}{q}^{b-1}{r}^{c-1}(p-1)(q-1)(r-1)$

が成り立つことを示せ．

(2)　$f(n)$が$n$の約数となる$5$以上$100$以下の自然数$n$をすべて求めよ．

【１】　曲線$y=|x^2-1|$を$C\text{，}$直線$y=2a(x+1)$を$l$とする．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数とする．

(1)　曲線$C$と直線$l$の共有点の座標をすべて求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなる$a$の値を求めよ．

【２】　座標空間内の直線$l$と$z$軸はねじれの位置にあるとする．$l$と$z$軸の両方に直交する直線がただ$1$つ存在することを示せ．

【３】　素数を小さい順に並べて得られる数列を

$p_1,p_2,\cdots ,p_n,\cdots$

とする．

(1)　$p_{15}$の値を求めよ．

(2)　$n\geqq 12$のとき，不等式$p_n>3n$が成り立つことを示せ．