2024　京都工芸繊維大学　後期

【１】　$c$を実数とし，$0<c<1$を満たすとする．次の定積分を考える．

$S(c)=2{\displaystyle {\int }_0^2}x|\log (x^2+c)|\mathit{dx}$

(1)　$S(c)$を求めよ．

(2)　$c$が$0<c<1$の範囲を動くときの$S(c)$の最小値を求めよ．

【２】　実数$R$は$R>1$を満たすとする．$xy$平面を動く点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の時刻$t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$における座標が

$\mathrm{P}(R\cos {\displaystyle \frac{t}{R}},R\sin {\displaystyle \frac{t}{R}})\text{，}$$\mathrm{Q}(R\cos {\displaystyle \frac{t}{R}}+\cos t,R\sin {\displaystyle \frac{t}{R}}+\sin t)$

であるとする．$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$k\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$となる実数$k$が存在するような正の実数$t$のうち，最小のものを$t_0$とする．$t_0$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$t_0$に対し，時刻$t=0$から時刻$t=t_0$までの間に$\mathrm{Q}$が動いた道のりを求めよ．

【３】　$z\text{，}$$w$を$0$でない複素数とし，${\displaystyle \frac{w}{z}}$は実数でないとする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(w)$について，$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S$と表す．

(1)　$S$は複素数${\displaystyle \frac{\bar{z}w}{2}}$の虚部の絶対値に等しいことを証明せよ．ただし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(2)　$z$の絶対値を$r$とし，$z$の偏角を$\theta$とする．次の条件が成り立つとする．

$r=1\text{，}$$0<\theta <\pi \text{，}$$w=2+{\displaystyle \frac{1}{z}}$

このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$b\text{，}$$c\text{，}$$n$が${\displaystyle \frac{2}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{2}{n}}$を満たすとする．このとき，$(b-n)(2c-n)$を$n$を用いて表せ．さらに，$b>n$であることと$b-n$は$n^2$の約数であることを示せ．

(2)　$k$を自然数とする．自然数の組$(a,b,c)$に対する次の条件(ア)，(イ)，(ウ)を考える．

(ア)　${\displaystyle \frac{2^k-1}{a}}+{\displaystyle \frac{2}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=1$

(イ)　$a<b$かつ$a<c$

(ウ)　$b$は奇数

　このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　自然数の組$(a,b,c)$が(ア)，(イ)を満たすとき，$2^k-1<a<2^k+2$であることを示せ．

(ⅱ)　(ア)，(イ)，(ウ)を満たす自然数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．