2024　京都教育大学　前期

【１】　$\cos \theta =t$とおく．$\cos 2\theta \text{，}$$\cos 3\theta \text{，}$$\cos 4\theta$をそれぞれ，$t$の整式として表せ．

【２】　$a\text{，}$$b$は$2$以上の整数であるとする．

(1)　$a\text{，}$$b$のいずれか一方が偶数で，もう一方が奇数であることは，${\log }_{a}b$が無理数であるための十分条件であることを証明せよ．

(2)　$a\text{，}$$b$のいずれか一方が偶数で，もう一方が奇数であることは，${\log }_{a}b$が無理数であるための必要条件ではないことを証明せよ．

【３】　$f(x)=4x^3-3x-\cos {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$とおく．

(1)　$\cos {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$の値を求めよ．

(2)　不等式${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<\cos {\displaystyle \frac{7}{36}}\pi <{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を証明せよ．

(3)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．

(4)　不等式$\cos {\displaystyle \frac{7}{36}}\pi >{\displaystyle \frac{4}{5}}$を証明せよ．なお，$1.41<\sqrt{2}<1.42\text{，}$$1.73<\sqrt{3}<1.74\text{，}$$2.23<\sqrt{5}<2.24\text{，}$$2.44<\sqrt{6}<2.45\text{，}$$2.64<\sqrt{7}<2.65$である．

【４】　$\mathrm{ABCD}$は四面体で，$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}$であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$は垂直であることを証明せよ．

【５A】　$a$は$0$より大きく，${\displaystyle \frac{1}{2}}$より小さい実数であるとする．三角形$\mathrm{OAB}$の頂点は右回りで$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の順に並んでいるものとする．点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{OAB}$の頂点を動く．時刻$n=0$のとき，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{O}$に居るものとする．時刻$n$が$1$進むとき，点$\mathrm{P}$は確率$a$で右回りに$1$つ隣の頂点に移動し，確率$a$で左回りに$1$つ隣の頂点に移動し，確率$1-2a$でその場に留まる．点$\mathrm{P}$が時刻$n$のとき点$\mathrm{O}$に居る確率を$p_n$と表す．

(1)　$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3$を$a$の式で表せ．

(2)　$p_n$を$a$と$n$の式で表せ．

【５B】　三角形$\mathrm{OAB}$の頂点は右回りで$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の順に並んでいるものとする．点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{OAB}$の頂点を動く．時刻$n=0$のとき，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{O}$に居るものとする．時刻$n$が$1$進むとき，点$\mathrm{P}$は確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で右回りに$1$つ隣の頂点に移動し，確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で左回りに$1$つ隣の頂点に移動し，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$でその場に留まる．点$\mathrm{P}$が時刻$n$のとき点$\mathrm{O}$に居る確率を$p_n$と表す．

(1)　$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3$を求めよ．

(2)　$p_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．