2024　京都大学　特色入試総合人間学部

【１】　図のように格子点$(m,n)$$\text{（}m\text{，}$$n$は$0$以上の整数）が

$(m,n+1)\to (m,n)\text{，}$

$(m+1,n)\to (m,n)\text{，}$

$(m,n+1)\to (m+1,n)$

と矢印でつながった盤面を考える．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人のプレイヤーが次のゲームを行う：

・初期状態として，ある格子点$(m,n)$（ただし$(m,n)$$\ne (0,0)\text{)}$に$1$つの石が置かれている．

・最初に$\mathrm{A}\text{，}$次に$\mathrm{B}$の順番で交互に，その石を矢印に従って別の格子点に動かす．例えば$(1,2)$に石がある場合は$(0,2)\text{，}$$(1,1)\text{，}$$(2,1)$のいずれかへ石を動かす．また例えば$(0,2)$に石がある場合は$(0,1)$または$(1,1)$のどちらかへ石を動かす．

・石を$(0,0)$に動かしたプレイヤーが勝者となる．

このとき，格子点$(m,n)$が先手勝ち位置であるとは，$(m,n)$に石が置かれた初期状態から始めて，$\mathrm{A}$が自分の番で適切に石を動かせば，$\mathrm{B}$がどのように動かしても必ず$\mathrm{A}$が勝者となることとする．同様に，格子点$(m,n)$が後手勝ち位置であるとは，$\mathrm{B}$が自分の番で適切に石を動かせば，$\mathrm{A}$がどのように動かしても必ず$\mathrm{B}$が勝者となることとする．このとき以下の問に答えよ．

問１　$(0,2)$は先手勝ち位置か．また後手勝ち位置か．それぞれ理由を付けて答えよ．

問２　$(m,n)$が後手勝ち位置となるのは$m$と$n$がどのような値のときか．理由を付けて答えよ．

【２】　$a$を正の数とし，$C$を曲線$y=x^2$$\text{（}0\leqq x\leqq a\text{），}$$L$を線分$y=ax$$\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$とする．このとき，次の条件(＊)が満たされるような$a$の範囲を求めよ．

(＊)　$C$上のどの点$\mathrm{P}$に対しても，$L$上の適当な点$\mathrm{Q}$をとると$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$となる．