2024　京都大学　前期

【１】　$n$個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_4$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【２】　$\left|x\right|\leqq 2$を満たす複素数$x$と，$|y-(8+6i)|=3$を満たす複素数$y$に対して，$z={\displaystyle \frac{x+y}{2}}$とする．このような複素数$z$が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ．

【３】　座標空間の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同一平面上にないとする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．実数$x\text{，}$$y$に対して，直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{X}$と，直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Y}$を次のように定める．

$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=x\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BY}}=y\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

このとき，直線$\mathrm{QY}$と直線$\mathrm{PX}$がねじれの位置にあるための$x\text{，}$$y$に関する必要十分条件を求めよ．

【４】　与えられた自然数$a_0$に対して，自然数からなる数列$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots$を次のように定める．

$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a_n}{2}}& \text{（}{a}_n\text{が偶数のとき）}\\ {\displaystyle \frac{3a_n+1}{2}}& \text{（}{a}_n\text{が奇数のとき）}\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ．

(2)　$a_0\text{，}$$a_1\text{，}\cdots \text{，}$$a_{10}$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ．

【５】　$a$は$a\geqq 1$を満たす定数とする．座標平面上で，次の$4$つの不等式が表す領域を$D_a$とする．

$x\geqq 0\text{，}$${\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\leqq y\text{，}$$y\leqq {\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\text{，}$$y\leqq a$

次の問いに答えよ．

(1)　$D_a$の面積$S_a$を求めよ．

(2)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{S}_a$を求めよ．

【６】　自然数$k$に対して，$a_k=2^{\sqrt{k}}$とする．$n$を自然数とし，$a_k$の整数部分が$n$桁であるような$k$の個数を$N_n$とする．また，$a_k$の整数部分が$n$桁であり，その最高位の数字が$1$であるような$k$の個数を$L_n$とする．次を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{L_n}{N_n}}$

ただし，例えば実数$2345.678$の整数部分$2345$は$4$桁で，最高位の数字は$2$である．

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$が次を満たすとする．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle COA}=\mathrm{\angle COB}=\mathrm{\angle ACB}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=90\mathrm{°}$

このとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　$n$個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_3$を求めよ．

(2)　$p_4$を求めよ．

【３】　$a$は正の定数とする．次の関数の最大値を求めよ．

$f(x)=|x^2-(ax+{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2\left)\right|$$+ax+{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

【４】　ある自然数を八進法，九進法，十進法でそれぞれ表したとき，桁数がすべて同じになった．このような自然数で最大のものを求めよ．ただし，必要なら次を用いてもよい．

$0.3010<{\log }_{10}\mathrm{2<}0.3011\text{，}$$0.4771<{\log }_{10}3<0.4772$

【５】　関数$y=x^2-4x+5$のグラフの$x>1$の部分を$C$とする．このとき，下の条件を満たすような正の実数$a\text{，}$$b$について，座標平面の点$(a,b)$が動く領域の面積を求めよ．

「$C$と直線$y=ax+b$は二つの異なる共有点を持つ．」