2024　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$n\text{，}$$m$は$2$以上$100$以下の自然数とする．

(1)　$2^n$の一の位が$2$となる$n$はいくつあるか．

(2)　$6^n$の十の位が$3$となる$n$はいくつあるか．

(3)　${\log }_{n}m$が有理数となる$(n,m)$の組はいくつあるか．

【２】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，それらは一直線上にないものとする．半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，半直線$\mathrm{OB}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点とする三角形を$T$とし，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を頂点とする三角形を$U$とする．

(1)　$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\mathrm{OA}+\mathrm{OB}$であり，$U$と$T$の面積が等しいとき，$U$と$T$は合同であることを示せ．

(2)　$\mathrm{PQ}=\mathrm{AB}$であり，$U$と$T$の面積が等しいとき，$U$と$T$は合同であることを示せ．

(3)　$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$が一定であるように$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が動くとする．$U$の面積が最大となるのは，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$のときであることを示せ．

(4)　$\mathrm{PQ}$が一定であるように$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が動くとする．$U$の面積が最大となるのは，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$のときであることを示せ．

【３】　$0$でない複素数$z$に対して，

$w={(2z+{\displaystyle \frac{3}{z}})}^2$

とおく．複素数平面上において，次の問いに答えよ．なお，点を求めるとは，その点を表す複素数を求めることである．

(1)　点$z$が原点を中心とする半径${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$の円上を動くとき，点$w$はある線分を描くことを示し，その線分の両端の点を求めよ．

(2)　点$z$が原点を中心とする半径$1$の円上を動くとき，点$w$はある楕円を描くことを示し，その楕円の焦点を求めよ．

(3)　$a$を$1$でない正の実数，$i$を虚数単位とし，原点および点$a+i$を通る直線を$l$とする．点$z$が$l$上の原点以外の点を動くとき，点$w$はある双曲線上にあることを示し，その双曲線の焦点を求めよ．

【４】　$a$を正の実数，$n$を正の整数とする．次を示せ．

(1)　$e^a=1+a+{\displaystyle {\int }_0^a}(a-x)e^x\mathit{dx}$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^a}{(a-x)}^n{e}^x\mathit{dx}$$={\displaystyle \frac{a^{n+1}}{n+1}}$$+{\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{{(a-x)}^{n+1}}{n+1}}{e}^x\mathit{dx}$

(3)　$e^a=1+a+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{a^3}{6}}+{\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{{(a-x)}^3}{6}}{e}^x\mathit{dx}$

(4)　$e^a\leqq 1+a+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{a^3}{6}}+{\displaystyle \frac{a^4}{24}}{e}^a$

(5)　$e<2.8$