2024　滋賀大学　後期

【１】　$0$以上の実数$t$に対し，関数$f(x)=-x^2+4x-2t\left|x\right|+2$の最大値を$M(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$M(1)$と$M(3)$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　関数$M(t)$を求めよ．

【２】　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{4}}$として，座標平面上の点${\mathrm{A}}_n(x_n,y_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を次のように定義する．

$(x_1,y_1)=(1,0)\text{，}$

$(x_n,y_n)=(\alpha x_{n-1}-\beta y_{n-1},\beta x_{n-1}+\alpha y_{n-1})$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

原点$\mathrm{O}$を基準とする${\mathrm{A}}_n$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a_n}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a_1}$と$\overrightarrow{a_2}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$と$\sin \theta$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{a_{n+1}}\right|$を$\left|\overrightarrow{a_n}\right|$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{a_n}$と$\overrightarrow{a_{n+1}}$のなす角${\theta }_n$は$n$によらず一定になることを示せ．

(4)　$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}$の面積を$n$を用いて表せ．

【３】　赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている袋がある．この袋から玉を$1$個取り出して，赤玉であればそのまま袋に戻し，白玉であれば袋に戻さず新たに赤玉を$1$個袋に入れるという試行を，袋の中がすべて赤玉になるまで繰り返す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$回目で白玉を取り出し，かつ$6$回目で繰り返しが終わる確率を求めよ．

(2)　$6$回目で繰り返しが終わる確率を求めよ．

(3)　$n$回目で繰り返しが終わる確率を$n$を用いて表せ．

【４】　$3$本の当たりくじを含む$6$本のくじから，はじめに$\mathrm{A}$君がくじを$1$本引き，残りのくじから$\mathrm{B}$君が$2$本引く．$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君が引いた当たりくじの本数をそれぞれ$X\text{，}$$Y$とするとき，次の問いに答えよ．なお，$\sqrt{5}=2.24$とし，付表の正規分布表を利用してよい．

(1)　$X$と$Y$のとる値のすべての組$(x,y)$と，それぞれの組に対応する確率$P(X=x,Y=y)$を求めよ．

(2)　$X$と$Y$の積の確率変数$W=XY$について，期待値$E(W)$と分散$V(W)$を求めよ．

(3)　この試行を$170$回繰り返す．$k$回目の試行で$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君それぞれが引いた当たりくじの本数の積を$W_k$とする．$W_1\text{，}$$W_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$W_{170}$の標本平均

$\bar{W}={\displaystyle \frac{1}{170}}(W_1+W_2+\cdots +W_{170})$

が$0.5$より大きくなる確率を，正規分布による近似を用いて求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b$を正の定数とし，放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$l\text{：}y=ax+b$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{R}$が$C$上を$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$まで動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{R}$の座標を，$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【６】　次の極限値を求めよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2\}$

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}$