2024　三重大学　後期工学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を$0$以上の整数とする．$x+y+z=n$を満たすような$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組の個数を$n$の式で表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$5{\cos }^2\theta +3{\sin }^2\theta +2\cos \theta \sin \theta$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　方程式$({\log }_2{\displaystyle \frac{2}{x}})({\log }_{2}2x)={(\sqrt{2}+{\log }_{2}x)}^2$を解け．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形$\mathrm{OAB}$と，$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$を通る直線$l$を考える．$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:(1-s)$（ただし，$0<s<1\text{）}$となる線分$\mathrm{AB}$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$となる$l$上の点とする．このとき，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおいて，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$を$s\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$で表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　$z^2={\displaystyle \frac{1}{i}}(\cos {\displaystyle \frac{5}{6}}\pi -i\sin {\displaystyle \frac{5}{6}}\pi )$を満たす複素数$z$をすべて求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は次を満たすとする．

$a_1=0\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\{{(1+\sqrt{2})}^{n-1}-{(1-\sqrt{2})}^{n-1}\}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，各自然数$n$に対して，次の命題を考える．

$\mathrm{P}(n)$：$n$以下のすべての自然数$j$に対して，$a_j=b_j$が成り立つ．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}$$2$のとき，$P(n)$が真であることを示せ．

(2)　数学的帰納法によって，すべての自然数$n$に対して，$\mathrm{P}(n)$が真であることを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{1}{1+x}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}}$であることを示せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sin x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{2}x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{3}x\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　次の等式と不等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}4({\sin }^{3}x)(\cos x)\log (1+x)\mathit{dx}$$={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1-{\sin }^{4}x}{1+x}}\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi -{\displaystyle \frac{5}{3}}$