2024　三重大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$1$枚のコインを$6$回投げるとき，表が$3$回以上出る確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　正の数$a\text{，}$$x\text{，}$$y\text{，}$$z$について，$2xy-yz-zx=0$かつ$2^x=3^y=a^z$であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　一辺の長さが$1$の正五角形の頂点を，反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}$を求めよ．ただし，必要ならば$\cos 36\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$を用いてよい．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　数列$\{a_n\}$を$a_1=0\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．$a_{n+2}-p{a}_{n+1}$$=q(a_{n+1}-p{a}_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$となる定数$p\text{，}$$q$を求め，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$a$を定数として，関数$f(\theta )=a{\cos }^2\theta -\sin \theta +a$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$a>0$のとき，$f(\theta )$の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(2)　$a<0$のとき，$f(\theta )$の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$\theta$についての方程式$f(\theta )=0$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

【３−１】　$f(x)={(x+1)}^2{e}^{-x}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値があれば求めよ．

(2)　関数$f(x)$のグラフの凹凸を調べ，グラフの変曲点があれば求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【３‐２】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は各点で微分係数をもつとする．$P(x)=f(x)-g(x)\text{，}$$Q(x)=f(x)g(x)$として導関数$P^{\prime }(x)\text{，}$$Q^{\prime }(x)$を考える．$P^{\prime }(x)=2x-2\text{，}$$Q^{\prime }(x)=6x^2+6x+2$となるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の$x=a$における微分係数$f^{\prime }(a)$の定義を述べよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(a.f(a))$における接線を$l\text{，}$曲線$y=g(x)$上の点$(a,g(a))$における接線を$m$とするとき，$l$と$m$の傾きが等しくなるような$a$の値を求めよ．

(3)　方程式$Q(x)=0$の実数解は$1$つであることを示せ．

(4)　$f(1)=2\text{，}$$g(0)=3$であるとき，$Q(b)=0$となる実数$b$を求め，$P(b)$の値を答えよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\sqrt{11}$が無理数であることを用いて$p\sqrt{11}=q$となる有理数$p\text{，}$$q$は$p=0\text{，}$$q=0$であることを示せ．さらに$\sqrt{11}$の小数部分を$x$と表すとき，$x^2=ax+{\displaystyle \frac{b}{x}}$を満たす有理数$a\text{，}$$b$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　複素数$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$について，集合$S=\left\{{\displaystyle \frac{{\alpha }^m-{\bar{\alpha }}^m}{\alpha -\bar{\alpha }}}\right|m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \}$を考える．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$と共役な複素数である．$S$の要素の個数を答え，その要素をすべて列挙せよ．

【２】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=5$として以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$で表せ．同様に，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$で表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\leqq 9$を示せ．

(3)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(a,0)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(b,c)$が成り立つとする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$のとり得る値をすべて求めよ．ただし$a\text{，}$$c$は$0$以上とする．

【３】　次の媒介変数表示で表される曲線$C$（サイクロイド）について考える．

$x=\theta -\sin \theta \text{，}$$y=1-\cos \theta$

以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を$0<\alpha \leqq \pi$を満たす実数とする．曲線$C$上の点$(\alpha -\sin \alpha ,1-\cos \alpha )$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線$l$と$x$軸，$y$軸，直線$x=\pi$で囲まれた図形の面積を$S(\alpha )$とする．$\underset{\alpha \to +0}{\lim }\alpha S(\alpha )$を求めよ．

(3)曲線$C\text{，}$$x$軸，直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x{e}^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフをかけ．なお，必要ならば$\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$を用いてよい．

(2)　$a$を定数とするとき，方程式$x{e}^x=a$の異なる実数解の個数を$a$の値によって分類せよ．

(3)　$2$点$(0,0)\text{，}$$(1,e)$を通る直線と曲線$y=x{e}^x$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=x^2+4\text{，}$$y=-{(x-1)}^2$に接する直線の方程式をすべて求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　$t$を正の実数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^t}|(x-1)(x-t)|\mathit{dt}$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(3)　$y$軸に関して対称で下に凸の放物線を$C$とする．また，$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．接線$l$の傾きを$a\text{，}$点$\mathrm{P}$の$x$座標を$1$とするとき，$C$と$l$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．