2024　豊橋技術科学大学　前期

【１】　$6$個の玉が入っている箱が$1$つある．以下の操作を$n$回繰り返した後に箱に入っている玉の個数を$a_n$とする．

操作：箱から$2$個の玉を取り出す．その後，箱に残っている玉の個数と同じ個数の玉を新たに箱へ入れる．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$a_n$が初めて$1000$より大きくなる$n$の値を求めよ．

(5)　数冽$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{n}{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$により定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$を証明せよ．必要ならぱ，自然数$n$に対して$2^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k$が成り立つことを用いてよい．

(6)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n}{2^n}}$を求めよ．

【２】　座標空間において，$2$点$\mathrm{A}$$(0,-4,6)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-12,4,0)$を直径の両端とする球面を$S$とし，$S$が$xy$平面，$yz$平面，$zx$平面と交わってできる円をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$とする．そして，$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$の中心をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$とし，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の重心を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　球面$S$の中心の座標を求めよ．

(2)　球面$S$の方程式を求めよ．

(3)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(4)　点$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(5)　四面体$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の体積$V$を求めよ．

(6)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の定める平面$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$上に点$\mathrm{R}$$(0,r,r)$があるとき，$r$の値を求めよ．

【３】　$x>0$に対して，$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$とする．そして，曲線$y=f(x)$の点$(\sqrt{e},{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{e}}})$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$y=f(x)$を微分せよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，変曲点を求めよ．

(5)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および接線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(6)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=\sqrt{e}$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを$3$回投げたとき，出た目の数を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$とし，その$3$個の数の積$a_1{a}_2{a}_3$を$N$とする．以下の問いに答えよ．ただし，答えが分数になるときは既約分数で答えよ．

(1)　$N=3$である確率を求めよ．

(2)　$N=4$である確率を求めよ．

(3)　$N$が$3$の倍数である確率を求めよ．

(4)　$N$が$4$の倍数である確率を求めよ．

(5)　$N$が$12$の倍数である確率を求めよ．

(6)　$N$が$4$の倍数であったとき，$3$個の数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$のうち少なくとも$1$個は奇数である確率を求めよ．