2024　浜松医科大学　前期医学科

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の実数とする．このとき，不等式

$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\geqq abc(a+b+c)$

を証明せよ．また，等号が成り立つときの$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の条件を求めよ．

(2)　鋭角三角形の$3$つの内角を$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とおく．以下の問いに答えよ．

(a)　等式

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$

を証明せよ．

(b)　不等式

${\displaystyle \frac{1}{\tan A}}+{\displaystyle \frac{1}{\tan B}}+{\displaystyle \frac{1}{\tan C}}\geqq \sqrt{3}$

を証明せよ．また，等号が成り立つときの鋭角三角形の条件を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．なお，${}_{n}C_r$は二項係数を表す．

(1)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが将棋の対局をくり返し行い，先に$3$回勝った方が優勝するものとする．$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに$1$回の対局で勝つ確率は$p$であるとする．また各対局において引き分けはないものとする．このとき，$\mathrm{A}$さんが優勝する確率を$p$の式として表せ．

(2)　(1)において$p=0.75$であるときに，$\mathrm{A}$さんが優勝する確率を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．

(3)　(1)において「先に$3$回」を「先に$N$回」$\text{（}N$は$2$以上の自然数）にしたときの$\mathrm{A}$さんが優勝する確率を$p$と$N$の式として表せ．必要ならば和の記号${\displaystyle \sum }$や二項係数${}_{n}C_r$を用いてもよい．

(4)　すべての自然数$m$について

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{{}_{m+k}C_k}{2^k}}=2^m-1$

であることを証明せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{m+k}}& \text{（}n\text{が偶数（}n=2m\text{）のとき）}\\ {\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{m-1+k}}& \text{（}n\text{が奇数（}n=2m-1\text{）のとき）}\end{array}$

を証明せよ．

(2)　(1)の左辺において$n\to \infty$として，区分求積法を用いて無限級数

$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}+\cdots$

の和の値を求めよ．

(3)　(2)の無限級数の項の順序を入れ替えてできる無限級数

$1\underset{\underset{2\text{項}}{⏟}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\underset{\underset{2\text{項}}{⏟}}{-{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\underset{\underset{2\text{項}}{⏟}}{-{\displaystyle \frac{1}{10}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}}+\cdots$

の和の値を求めよ．

(4)　上の結果からどのようなことが考察されるか．「有限」と「無限」という言葉を用いて述べよ．

【４】　正方形の紙$\alpha$に右図のような座標軸をとり，$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(-2,0)\text{，}$および，$2$直線$y=-1\text{，}$$x=2$を定める．以下この$2$直線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$と表す．このとき，点$\mathrm{A}$を直線$l_1$上の点${\mathrm{A}}^{\prime }(a,-1)$に重ねて$\alpha$を折ったときにできる折り目の直線を$l_3(a)$とする．ただし，${\mathrm{A}}^{\prime }$は$\alpha$上にとることとし，また，以下の操作はすべて$\alpha$上で行うこととする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l_3(a)$の方程式を，$a$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$が直線$l_1$上に位置するように$\alpha$を折り，そのときにできる折り目により，$\alpha$を$2$つに分割する．このとき，点$\mathrm{A}$が直線$l_1$の上に位置するような，どのような折り方をしても，その折り目に対して常に点$\mathrm{A}$と同じ側にある点全体の集合の境界線の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$が直線$l_1$上の点${\mathrm{A}}^{\prime }$に重なると同時に，点$\mathrm{B}$が直線$l_2$上の点に重なるように$\alpha$を折るとき，$a$の値を求めよ．