2024　静岡大学　後期

【１】　座標平面上で中心が$\mathrm{P}$$(\sqrt{2},0)$で半径が$1$の円$C$と，原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の直線$l$を考える．

(1)　円$C$と直線$l$が異なる$2$点で交わるときの$\theta$の範囲を求めよ．

(2)　$\theta$が(1)の範囲を動くとき，円$C$と直線$l$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{\angle QPR}=\alpha$とおくとき，$\cos \alpha$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵PQR}$の面積を最大にする$\theta$の値を求めよ．

【２】　空間内の四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AP}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{\angle QPB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{QP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$を満たすとする．さらに$k<0$と$l<0$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{b}+l\overrightarrow{c}$と表せるとき，$k$と$l$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{D}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$を満たすとする．また点$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{BC}$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AR}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{RD}}\right|$を最小とする点を${\mathrm{R}}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_0}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　正の整数$n$に対して，関数$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k+1}{x}^k}{k}}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f_n(x)$を微分せよ．

(2)　$n$が偶数のとき，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$\log (1+x)\geqq f_n(x)$が成り立つことを示せ．ただし$\log$は自然対数を表す．

(3)　$a_m=f_{2m}(1)$$\text{（}m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき，極限$\underset{m\to \infty }{\lim }{a}_m$を求めよ．

【４】　複素数$z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$z_1=0\text{，}$$z_{n+1}={\displaystyle \frac{(3+i)z_n+(1-i)}{(1+i)z_n+(3-i)}}$

で定める．ただし$i$は虚数単位を表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$z$を複素数とする．$\left|z\right|<1$のとき，

$|(1+i)z+(3-i)|>|(3+i)z+(1-i)|$

が成り立つことを示せ．

(2)　複素数$w_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$w_n={\displaystyle \frac{z_n+i}{i{z}_n+1}}$

で定める．このとき，$w_{n+1}$を$w_n$を用いて表せ．

(3)　$z_n$を実数$a_n\text{，}$$b_n$を用いて$z_n=a_n+b_{n}i$と表すとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$をそれぞれ求めよ．

【５】　正の整数$n$と整数$x\text{，}$$y$に対して，$x-y$が$n$で割り切れるとき，$x\equiv y(\mathrm{mod}n)$と書くことにする．$a\text{，}$$b$を正の整数とする．$x\text{，}$$y$がすべての整数を動くとき，$ax+by$の形で表される最小の正の整数を$d$とする．このとき，次の各命題を証明せよ．

(1)　どのような整数$x\text{，}$$y$に対しても，$ax+by$は$d$の倍数である．

(2)　$d$は$a$と$b$の最大公約数である．

(3)　$r$を整数とし，$a$と$b$は互いに素であるとする．このとき，$ax\equiv r(\mathrm{mod}b)$を満たす整数$x$が存在する．

(4)　$r\text{，}$$s$を整数とし，$a$と$b$は互いに素であるとする．このとき，$z\equiv r(\mathrm{mod}b)\text{，}$$z\equiv s(\mathrm{mod}a)$を同時に満たす整数$z$が存在する．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x|\cos x|\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　連続関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して

$f(x)=|\cos x|+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}tf(t)\mathit{dt}$

を満たすとする．このとき，$f(x)$を求めよ．

(3)　$a$と$b$を実数とする．すべての実数$x$に対して

$g(x)=a|\cos x|+b{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}tg(t)\mathit{dt}$

を満たす連続関数$g(x)$が存在しないための必要十分条件を$a$と$b$を用いて表せ．