2024　静岡大学　前期

【１】　座標平面上の直線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$を$l$とする．$l$上に中心があり$x$軸の正の部分と接する半径$1$の円を${\mathrm{O}}_1$とする．正の整数$n$に対して，${\mathrm{O}}_{n+1}$を，$l$上に中心があり${\mathrm{O}}_n$と$x$軸の両方に接する円のうち半径が${\mathrm{O}}_n$より小さい円とする．各円${\mathrm{O}}_n$の中心の座標を$(x_n,y_n)$とし，$3$点$(x_n,y_n)\text{，}$$(x_{n+1},y_{n+1})\text{，}$$(x_n,y_{n+1})$を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y_2$を求めよ．

(2)　$y_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$S_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$S_m>{10}^{-5}$を満たす最大の正の整数$m$を求めよ．ただし，必要であれば次の不等式$0.30<{\log }_{10}2<0.31\text{，}$$0.47<{\log }_{10}3<0.48$を用いてよい．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．$x=a+b+c\text{，}$$y=bc+ca+ab\text{，}$$z=abc$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a^2+b^2+c^2$を$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(2)　$a^3+b^3+c^3$を$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を用いて表せ．

(3)　$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ．

(4)　次の等式を満たす実数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は存在しないことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{p^2}}+{\displaystyle \frac{1}{q^2}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}$$={\displaystyle \frac{1}{p^3}}+{\displaystyle \frac{1}{q^3}}+{\displaystyle \frac{1}{r^3}}=1$

【３】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=x-x^2\text{，}$$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}\\ f(-x)& \text{（}-1\leqq x\leqq 0\text{）}\end{array}$

により定める．曲線$y=g(x)$および$y={\displaystyle \frac{2}{{\pi }^2}}\sin \pi x$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$によって囲まれる図形$D$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$h(x)=f(x)-{\displaystyle \frac{2}{{\pi }^2}}\sin \pi x$とおくとき，$h(x)$の$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$における微分係数を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$f(x)\geqq {\displaystyle \frac{2}{{\pi }^2}}\sin \pi x$が成り立つことを示せ．

(3)　$D$の面積を求めよ．

(4)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　空間内に点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$がある．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は一直線上にないとし，これら$3$点を含む平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に垂直であり，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\ne \overrightarrow{0}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$\text{（}0<t<s<1\text{）}$

を満たしている．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る直線，$2$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る直線，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る直線が平面$\alpha$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$と実数$s$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および実数$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が一直線上にあることを示せ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$名で将棋の対局を行う．対局は必ず勝敗がつくとし，$\mathrm{A}$は確率$p$で勝利し，$\mathrm{B}$は確率$1-p$で勝利する．ただし，$0\leqq p\leqq 1$とする．対局を複数局行い，先に$4$局勝利したものを優勝とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$4$局目で$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が優勝する確率をそれぞれ$p$を用いて表せ．

(2)　$5$局目で優勝者が決まる確率を$p$を用いて表せ．

(3)　$5$局目で優勝者が決まる確率が最大になる$p$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$p$に対して，$5$局目で優勝者が決まる確率を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-3$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，そのグラフの概形をかけ．

(2)　実数$t$に対して，$t\leqq x$における$f(x)$の最小値を$m(t)$とするとき，$m(t)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$m(t)$に対して，$m(t)\geqq t-3$を満たすような$t$をすべて求めよ．