2024　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$k$を実数とする．$x$についての方程式

$\sin 3x-\cos 3x+k(\sin x+\cos x)=0$$\cdots \text{(＊)}$

を考える．$t=\sin x+\cos x$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\sin 3x$を$\sin x$を用いて表せ．

(2)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$\sin x\cos x$を$t$を用いて表せ．

(4)　$\sin 3x-\cos 3x$を$t$を用いて表せ．

(5)　方程式(＊)の$0\leqq x<2\pi$における解が$2$個である$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る平面$\alpha$を考える．平面$\alpha$が平面$\mathrm{OAB}$と異なるとき，正四面体$\mathrm{OABC}$は平面$\alpha$によって$2$つの部分にわけられる．このとき，$\mathrm{O}$を含む側の部分の体積を$V_1\text{，}$$\mathrm{O}$を含まない側の部分の体積を$V_2$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　平面$\alpha$が$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{C}$を通るとき，$V_1:V_2$を求めよ．

(2)　$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とおく．平面$\alpha$が$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{D}$を通るとき，$V_1:V_2$を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{H}$を(3)の点とし，$\mathrm{OH}$の中点を$\mathrm{M}$とおく．平面$\alpha$が$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{M}$を通るとき，$V_1:V_2$を求めよ．

【３】　楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{5}}=1$を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}$だけ平行移動した曲線の$x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の部分を$C$とする．$C$と$y$軸との交点のうち$y$座標が正のものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l$とし，$C$と$l$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$D$を$xy$平面に図示せよ．

(4)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=x^3-x$を考える．$C$上の点$\mathrm{A}$$(1,0)$における接線を$l_1$とし，$l_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．また$xy$平面上の点$(x,y)$は複素数$x+yi$に対応しているとする．以下の問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　直線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$を中心に反時計回りに点$\mathrm{P}$を${\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$だけ回転した点$\mathrm{Q}$に対応している複素数を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$を中心に反時計回りに直線$l_1$を${\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$だけ回転した直線$l_2$の方程式を求めよ．

(4)　(3)の直線$l_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．平面上に点$\mathrm{E}$をとる．点$\mathrm{E}$を中心に反時計回りに(2)の点$\mathrm{Q}$を${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点が点$\mathrm{B}$と一致したとする．このとき点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(5)　直線$l_1$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{▵QBE}$の面積と$\mathrm{▵ABF}$の面積の比を求めよ．ただし，$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{E}$は(2)，(4)で定めた点である．

【５】　次の関数を考える．

$f(x)=x-\sin x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3$

$g(x)=x-\sin x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{\sin }^{3}x$

以下の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$と$g(x)$を，それぞれ微分せよ．

(2)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$の最大値，および，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$x\geqq 0$のとき，不等式$f(x)\leqq 0$が成り立つことを示せ．

(4)　$x\geqq 0$のとき，不等式$g(x)\geqq 0$が成り立つことを示せ．

(5)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\right)}^3\leqq {\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{6}}$