2024　信州大学　後期　工,繊維学部

【１】　数列$\{a_n\}$はすべての自然数$n$について，不等式$a_{n+1}>{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{3}{2}}$および$a_{n+1}<{\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{4}{3}}$を満たし，$a_1=3$であるとする．このとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面にもつ高さ$\sqrt{3}$の三角柱について考える．点$\mathrm{B}$を通り三角柱の底面に垂直な辺上に点$\mathrm{P}$を，点$\mathrm{C}$を通り三角柱の底面に垂直な辺上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{BP}=x\text{，}$$\mathrm{CQ}=y$とする．$y>x$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵APQ}$が直角三角形となるとき，$y$を$x$の式で表せ．

(2)　$\mathrm{▵APQ}$が直角三角形となるとき，その面積$S$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$i$を虚数単位とし，複素数$z$の共役複素数を$\bar{z}$とする．$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$とし，$\beta =\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^4$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対して，${(\bar{\alpha })}^n={\alpha }^{7-n}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\beta +\bar{\beta }$と$\beta \bar{\beta }$の値を求めよ．

(3)　$\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{8\pi }{7}}$の値を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_{2(n-1)\pi }^{2n\pi }}{e}^{-x}|\sin x|\mathit{dx}$

とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$I_1$の値を求めよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{I}_n$の和を求めよ．