2024　信州大学　前期　経法,工,繊維,医学部

【１】　座標平面上の放物線$C\text{：}y=x^2$上に異なる$2$つの動点$\mathrm{P}$$(p,p^2)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,q^2)$をとる．ただし，実数$p\text{，}$$q$は$p<q\text{，}$$pq\ne 0$を満たすとする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l_{\mathrm{P}}\text{，}$$\mathrm{P}$を通り$l_{\mathrm{P}}$に垂直な直線を$n_{\mathrm{P}}\text{，}$$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$l_{\mathrm{Q}}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通りに$l_{\mathrm{Q}}$に垂直な直線を$n_{\mathrm{Q}}$とする．また，$l_{\mathrm{P}}$と$l_{\mathrm{Q}}$の交点を$\mathrm{R}\text{，}$$n_{\mathrm{P}}$と$n_{\mathrm{Q}}$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\mathrm{\angle PSQ}=90\mathrm{°}$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{RS}$と$y$軸が平行であることを示せ．

(2)　四角形$\mathrm{PRQS}$の面積$T$を$q$を用いて表せ．また，$T$の最小値を求めよ．

【２】　実数$a$は$a>1$を満たすとする．このとき，正の実数$x$に対し，$x=a{(1-{\displaystyle \frac{1}{a}})}^y$を満たす実数$y$がただ一つ定まる．この$y$を$y=f(x)$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$u\text{，}$$v$を正の実数とするとき，$f(u)+f(v)-f(uv)$の値を$a$を用いて表せ．

(2)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$を正の実数とする．$p:q=r:s$のとき，$f(p)+f(s)=f(q)+f(r)$であることを示せ．

【３】　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$および$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$を満たすとする．$k$を定数とし，$2$点$\mathrm{Q}(2k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\text{，}$$\mathrm{R}(-3\overrightarrow{b})$を直径の両端とする円を$C\text{，}$点$\mathrm{S}(-4\overrightarrow{b})$を通り$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C$の半径$r$を$k$を用いて表せ．

(2)　直線$l$が円$C$と共有点をもつとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

【４】　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と，赤球$8$個，白球$30$個がある．この$38$個の球から$30$個選び，$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に$10$個ずつ入れるとき，次の問いに答えよ．ただし，同じ色の球は区別しないものとする．

(1)　どの箱にも少なくとも$1$個の赤球が入り，かつ，すべての赤球がいずれかの箱に入るような入れ方は何通りあるか．

(2)　入れ方は全部で何通りあるか．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，直線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$の$x>0$の部分を$l\text{，}$直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$の$x>0$の部分を$m$とする．点$\mathrm{P}$は$l$上を，点$\mathrm{Q}$は$m$上を，$\mathrm{PQ}=2$を満たしながら動くとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle OPQ}=t$とするとき，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求め，座標平面上に図示せよ．

【６】　$e$を自然対数の底とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して，不等式${\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\geqq 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$が成り立つことを示せ．

(2)　等式${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-\cos 2t}\mathit{dt}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{\cos 2t}\mathit{dt}$が成り立つことを示せ．

(3)　不等式${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{\cos 2t}\mathit{dt}\geqq {\displaystyle \frac{5}{8}}\pi$が成り立つことを示せ．

【７】　$n$を自然数とし，$1$から$n$までの異なる$n$個の自然数からなる集合を$N$とする．$N$の$2$つの部分集合$P_1\text{，}$$P_2$は

$P_1\cap P_2=\varnothing$かつ$P_1\cup P_2=N$

を満たすとする．ただし，$\varnothing$は空集合とする．$P_1$の要素の総和を$S_1\text{，}$$P_2$の要素の総和を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$を満たす$P_1\text{，}$$P_2$が存在するような$n$の値をすべて求めよ．