2024　信州大学　前期　教育学部

【１】　$n$は自然数とする．次の和$S_n$を求めなさい．

$S_n=1+{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5^2}}+{\displaystyle \frac{4}{5^3}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{5^{n-1}}}$

【２】　$a$は実数とする．座標平面において，$2$つの$2$次関数

$y=-x^2+a\text{，}$$y={(x-a)}^2$

のグラフを考える．次の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの関数のグラフが異なる$2$点で交わるための$a$の必要十分条件を求めなさい．

(2)　$a$が(1)の条件を満たすとき，$2$つのグラフで囲まれる部分の面積$S(a)$の最大値を求めなさい．

【３】　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}}(\cos x\cos 2x-\cos 3x\sin 4x)\mathit{dx}$

【４】　すべての実数$x$で定義された関数$f(x)={\left|x\right|}^3$について，その第$2$次導関数$f^{″}(x)$が$x=0$で微分可能でないことを示しなさい．