2024　山梨大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+3$で定められる数列$\{a_n\}$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．$S_n$および${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }}{\displaystyle \frac{S_n}{n}}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x^2+x+1}}\mathit{dx}$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$には赤玉$4$個，白玉$1$個，$\mathrm{B}$には赤玉$3$個，白玉$2$個が入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$から$1$つの箱を選んで玉を$1$個取り出したところ，赤玉であったとして，残りのもう$1$つの箱から玉を$1$個取り出すとき，それが赤玉である確率を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$2$である正四面体$\mathrm{OABC}$について，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表し，大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAF}$の面積$S$を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{▵MPQ}$の重心$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{OF}$上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{▵OMG}$の面積$S^{\prime }$を求めよ．

【３】　$xy$平面上で方程式${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$で表される曲線を$C$とする．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対し，$x$軸上の点$\mathrm{P}\text{，}$$y$軸上の点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{3}{\cos \theta }},0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,{\displaystyle \frac{2}{\sin \theta }})$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$は曲線$C$に接することを示せ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積が最小となるような$\theta$の値を求めよ．

(3)　$\theta$を(2)で求めたものとするとき，不等式$y\geqq 0$の表す領域で，曲線$C\text{，}$$x$軸，$y$軸，および直線$x=3\cos \theta$で囲まれる図形$D$の面積を求めよ．

(4)　$D$を(3)で定めたものとするとき，$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$t$を$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．曲線$y=1+\tan x$上の点$(t,1+\tan t)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$f(t)$とする．関数$f(t)$の増減を調べ，極値を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$は$0<a_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ$\tan a_n=n$を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(問１)　${\cos }^2{a}_n$を$n$の式で表せ．

(問２)　$\tan (a_{n+1}-a_n)$を$n$の式で表せ．

(問３)　${\displaystyle \frac{\tan (a_{n+1}-a_n)}{{\cos }^2{a}_n}}>{\displaystyle \frac{9}{10}}$を満たす$n$の最小値を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目を$a\text{，}$$2$回目に出る目を$b$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$a+b$が$3$の倍数になる確率を求めよ．

(問２)　$a^2+b^2$が$4$の倍数になる確率を求めよ．

(問３)　$a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3$が$12$の倍数になる確率を求めよ．

【３】　$a$を実数とし，座標平面上の円$x^2+y^2=8$を$C_1\text{，}$放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+a$を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$4$個のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(問２)　$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であるような$a$の最小値を求め，そのときの共有点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．

(問３)　$a$が(問２)で求めた値であるとき，直線$\mathrm{PQ}$の下側で，$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$D$がある．円$D$の周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をとる．ただし，直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$は点$\mathrm{O}$を通らないとする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における円$D$のそれぞれの接線の交点を$\mathrm{P}$とする．同様に，$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$における円$D$のそれぞれの接線の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}$における円$D$のそれぞれの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{4}{4+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$が成り立つことを示せ．

(問２)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-2\sqrt{3}$のとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(問３)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=-2\sqrt{3}$かつ$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=2$のとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．