2024　福井大学　前期

【１】　関数$f(x)=x^2$に対し，次の(ⅰ)，(ⅱ)によって数列$\{a_n\}$を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1=3\text{，}$$a_2=1$とする．

(ⅱ)　然数$n$に対し，曲線$y=f(x)$上の$2$つの点$({\displaystyle \frac{a_n}{2}},f({\displaystyle \frac{a_n}{2}}\left)\right)\text{，}$$(a_{n+1},f(a_{n+1}))$を通る直線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+2}$とする．

ただし，自然数$n$に対して$a_n>0$および$a_n\ne 2a_{n+1}$であることは，証明なしに用いてよい．

(1)　$a_{n+2}$を$a_{n+1}$および$a_n$を用いて表せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおく．数列$\{b_n\}$に対する漸化式を求めよ．さらに

$b_{n+2}-p{b}_{n+1}=q(b_{n+1}-p{b}_n)$

を満たす実数$p$と$q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

(3)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を整数とする．点$(2n,f(2n\pi ))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式は，$n$の値によらず$y=x$であることを示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲において，直線$y=x$と曲線$y=f(x)$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，関数$I(x)$を

$I(x)={\displaystyle {\int }_x^{3x}}f(t)\mathit{dt}$

と定める．$I(x)$が最大値をとる$x$の値を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．

【３】　赤玉が$2$個，白玉が$1$個入っている袋がある．さいころを投げ，$3$の倍数の目が出たら白玉を$1$個，$3$の倍数ではない目が出たら赤玉を$1$個，この袋の中に追加することにする．さいころを$2$回投げて袋の中に$2$個の玉を追加した後，よく混ぜ，袋の中から$3$個の玉を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　袋から取り出した玉が$3$個とも白玉である確率を求めよ．

(2)　袋から取り出した玉が赤玉$2$個，白玉$1$個である確率を求めよ．

(3)　袋から取り出した玉が赤玉$2$個，白玉$1$個であったとき，袋の中に残っている$2$個の玉がどちらも白玉である確率を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{OC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle AOC}=\mathrm{\angle BOC}=90\mathrm{°}$とする．$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{▵OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{N}$とする．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る平面を$\alpha$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{BM}$は平面$\alpha$と直交し，点$\mathrm{N}$は平面$\alpha$上にあることを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$上を動くとき，$\mathrm{MP}+\mathrm{PG}$の最小値を求めよ．

【１】　$n$を自然数とする．赤玉，白玉それぞれ$n$個の計$2n$個の玉が$1$つの袋に入っている．この袋からよくかき混ぜて無作為に$n$個の玉を取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　取り出した$n$個の玉のうち，赤玉が$k$個である確率を求めよ．ただし，$0\leqq k\leqq n$とする．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{({}_{n}C_k)}^2={}_{2n}C_n$を示せ．

(3)　$p$を$n<p\leqq 2n$を満たす素数とする．そのとき，${}_{2n}C_n$は$p$で割り切れるが，$p^2$では割り切れないことを示せ．

【２】　$n$を自然数とする．$z=1+\sqrt{3}i$に対して，$z^n=a_n+b_{n}i$とおく．ここで，$i$は虚数単位であり，$a_n\text{，}$$b_n$はそれぞれ$z^n$の実部， 虚部を表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n^2+b_n^2$を$n$を用いて表せ．

(2)　$a_n\text{，}$$b_n$がともに整数になるとき，$n$の値をすべて求めよ．

(3)　${\omega }_1=\sqrt{3}+5i\text{，}$${\omega }_2=-\sqrt{3}+11i$として，複素数平面上で$2$点$\mathrm{Q}({\omega }_1)\text{，}$$\mathrm{R}({\omega }_2)$を通る直線を$l$とする．点$\mathrm{P}(z^n)$と$l$の距離$d_n$の最小値とそのときの$n$の値を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とする．$-a\leqq x\leqq a$を定義域とする関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{-a}^a}|t-x|e^{-t^2}\mathit{dt}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$は$-a<x<a$で下に凸であることを示せ．

(2)　$f(x)$が最小となるときの$x$の値を求めよ．

(3)　$f(x)$の最小値が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a$の値を求めよ．

【４】　座標空間において，球$S\text{：}{(x-2)}^2+{(y-2)}^2+{(z-2)}^2=4$を$x$軸を含む平面$\alpha$で切断する．$S$およびその内部で$\alpha$の上側$\text{（}z$軸の正の方向）にある部分の体積を$K_U\text{，}$下側にある部分の体積を$K_D$とする．ただし，体積は切り口も含めて考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　平面$\alpha$が点$\mathrm{P}$$(4,4,2)$を通るとき，$\alpha$と球$S$が交わってできる円の半径を求めよ．

(2)　(1)のときの$K_D$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{K_U}{K_D}}={\displaystyle \frac{5}{27}}$を満たし，かつ$\alpha$は平面$y=5$上の点$\mathrm{Q}$を通るとき，点$\mathrm{Q}$の$z$座標を求めよ．

【２】　正の整数$n$に対して$a_n={\displaystyle {\int }_{-1}^n}\{3x^2-(2n-1)x+1\}\mathit{dx}$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{12}}{a}_n$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{12}}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$の値を求めよ．

【４】　座標平面において，点$\mathrm{A}$は原点を始点として$x$軸の正の方向に点$(5,0)$まで動き，時刻$t$における点$\mathrm{A}$の座標は$(t,0)$である．ただし，$0\leqq t\leqq 5$とする．また，点$\mathrm{B}$は$\mathrm{AB}=5$を満たしながら$y$軸上を動き，$\mathrm{B}$の$y$座標は$0$以上である．線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$t=4$のときの点$\mathrm{P}$の速度ベクトルと速さを求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　表１は，ある大学周辺のアパートの部屋について，広さ（単位：$\stackrel{\text{じょう}}{\text{帖}}$），通学時間（単位：分），家賃（単位：万円）をまとめたデータである．ただし，広さと通学時間の標準偏差の値は，小数第$4$位を四捨五入した値である．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$a<b$であるとする．

(2)　表２は，このデータについて共分散と相関係数を計算した結果をまとめたものである．ただし，相関係数の値は，小数第$4$位を四捨五入した値である．表２には，計算結果が明らかに間違っている数値が$1$つある．表中のどの数値かを指摘し，正しい数値を小数第$4$位を四捨五入した形で求めよ．

【６】　関数$f(x)$を$f(x)=x^3+3x^2-x-3$とし，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線と$y$軸との交点の$y$座標を$g(t)$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$g(t)$を求めよ．

(2)　$g(t)$の極値を求めよ．

(3)　曲線$C$の接線のうち，原点を通るものの本数を求めよ．