2024　金沢大学　前期　理系

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=e^{-x}\sin x$と$g(x)=e^{-x}\cos x$の導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　整数$k$に対し，定積分${\displaystyle {\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }}{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-x}|\sin x|\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　虚数単位を$i$とし，複素数$\alpha$を，$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$とする．また，実数$u\text{，}$$v$に対し，複素数$w\text{，}$$z$を，$w=u+vi\text{，}$$z=\alpha w$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z$の実部と虚部，および$\left|z\right|$を，それぞれ$u$と$v$を用いて表せ．

(2)　$u+\sqrt{3}v-1=0$のとき，実数$s\text{，}$$t$を$s+ti=z^2$で定める．$t^2=s+{\displaystyle \frac{1}{4}}$であることを示せ．

(3)　$u+\sqrt{3}v-1=0$のとき，実数$a\text{，}$$b$を$a+bi=w^2$で定める．$xy$平面において，点$\mathrm{P}$$(a,b)$と直線$x-\sqrt{3}y+1=0$の距離は，$\mathrm{P}$と原点の距離に等しいことを示せ．

【３】　右の図は，ある四面体$T$の展開図である．ここで，$\mathrm{AB}=\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{13}\text{，}$$\mathrm{BF}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AF}=\sqrt{7}\text{，}$および$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=7$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積および四面体$T$の体積を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$3$辺の長さが$\sqrt{a_n}\text{，}$$\sqrt{a_{n+1}}\text{，}$$\sqrt{a_{n+1}}$である二等辺三角形の面積が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$となる数列$\{a_n\}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$3$辺の長さが$\sqrt{a}\text{，}$$\sqrt{b}\text{，}$$\sqrt{b}$である二等辺三角形の面積を求めよ．

(2)　漸化式$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}(a_n+{\displaystyle \frac{3}{a_n}})$を示せ．また，$a_{n+1}\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$であることを示せ．

(3)　等式$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{a_n-3}{4a_n}}(a_n-1)$を示せ．

(4)　$|a_1-1|\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．このとき，すべての$n$について，

$|a_{n+1}-1|\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}|a_n-1|$

が成り立つことを示し，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．