2024　金沢大学　前期　文系

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また，実数$s$に対し，点$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=s\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たす点とし，$0<t<1$である実数$t$に対し，線分$\mathrm{GE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s\text{，}$$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{GE}$が点$\mathrm{H}$で交わるとき，$s\text{，}$$t$の値を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

【２】　数列$\{a_n\}$を，初項$a_1=a\text{，}$公比$r$の等比数列とし，この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a=8\text{，}$$r=5$のとき，$S_k=1248$となる自然数$k$を求めよ．

(2)　$a=6$で，ある自然数$k$に対し，$S_k=378\text{，}$$S_{2k}=24570$であるとき，公比$r$と$k$を求めよ．

(3)　ある自然数$k$に対し，$a_k=54\text{，}$$S_k=80\text{，}$$S_{2k}=6560$であるとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$f(x)=-x^2+x+1\text{，}$$g(x)=-x^3+x+1$とする．座標平面において，点$\mathrm{A}$$(0,1)$は，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点である．$\mathrm{A}$と異なる，$2$つの曲線の共有点を$\mathrm{B}$とする．また，$p<0$とし，点$(p,g(p))$における$y=g(x)$の接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$の点$\mathrm{A}$での接線が一致することを示せ．

(3)　直線$l$の方程式を$p$を用いて表せ．また，$l$が点$\mathrm{B}$を通るとき，$p$の値を求めよ．

(4)　$x\geqq 0$のときは$y=f(x)\text{，}$$x<0$のときは$y=g(x)$で表される曲線を$C$とする．直線$l$が点$\mathrm{B}$を通るとき，$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．